Номер 33, страница 20, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 26. Изопроцессы - номер 33, страница 20.

Условие.

33. На рисунке 26.22 изображён график газового процесса, состоящего из четырёх этапов. В состояниях 2 и 4 температура газа одинакова: $T_2 = T_4$. Выразите эту температуру через температуру газа $T_1$ в состоянии 1 и температуру газа $T_3$ в состоянии 3.

Рис. 26.22

Решение 2.

Дано:

Газовый процесс, состоящий из четырех этапов, представлен на p-V диаграмме.
Параметры состояний: $(p_1, V_1, T_1)$, $(p_2, V_2, T_2)$, $(p_3, V_3, T_3)$, $(p_4, V_4, T_4)$.
Из графика:
1-2: изохорный процесс, $V_1 = V_2$.
2-3: изобарный процесс, $p_2 = p_3$.
3-4: изохорный процесс, $V_3 = V_4$.
4-1: изобарный процесс, $p_4 = p_1$.
По условию: $T_2 = T_4$.

Найти:

Выразить температуру $T_2$ через $T_1$ и $T_3$.

Решение:

Будем считать газ идеальным, а его количество постоянным ($\nu = \text{const}$). Для идеального газа справедливо уравнение состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$.

Запишем это уравнение для каждого из четырех состояний газа:

1. $p_1 V_1 = \nu R T_1$

2. $p_2 V_2 = \nu R T_2$

3. $p_3 V_3 = \nu R T_3$

4. $p_4 V_4 = \nu R T_4$

Используем условие задачи $T_2 = T_4$. Из уравнений для состояний 2 и 4 следует:

$\nu R T_2 = p_2 V_2$
$\nu R T_4 = p_4 V_4$
Так как левые части равны, то равны и правые:

$p_2 V_2 = p_4 V_4$

Из анализа графика известно, что $V_2 = V_1$ и $p_4 = p_1$. Подставим эти соотношения в полученное равенство:

$p_2 V_1 = p_1 V_4$

Также из графика видно, что $V_4 = V_3$. Следовательно:

$p_2 V_1 = p_1 V_3$

Из этого соотношения можно выразить отношение давлений через отношение объемов:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_3}{V_1}$

Теперь рассмотрим переходы между состояниями 1, 2 и 3.

Для изохорного процесса 1-2 ($V_1 = V_2 = \text{const}$) справедлив закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1}$

Для изобарного процесса 2-3 ($p_2 = p_3 = \text{const}$) справедлив закон Гей-Люссака:

$\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3} \implies \frac{T_3}{T_2} = \frac{V_3}{V_2}$

Поскольку $V_2 = V_1$, последнее соотношение можно переписать в виде:

$\frac{T_3}{T_2} = \frac{V_3}{V_1}$

Ранее мы получили, что $\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_3}{V_1}$. Теперь мы можем приравнять выражения для этих отношений, подставляя в них температурные зависимости:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$

Из этой пропорции выразим $T_2$. Умножим обе части на $T_1 T_2$:

$T_2^2 = T_1 T_3$

Извлекая квадратный корень, получаем искомое выражение для температуры $T_2$ (и $T_4$):

$T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$

Ответ: $T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$