Номер 2, страница 21, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 27. Уравнение состояния идеального газа - номер 2, страница 21.

Условие.

°2. Докажите, что уравнения всех трёх изопроцессов являются частными случаями уравнения Клапейрона.

Рассмотрим примеры применения уравнения Клапейрона.

Решение 2.

Уравнение Клапейрона (также известное как объединенный газовый закон) для газа постоянной массы устанавливает связь между давлением $\text{P}$, объемом $\text{V}$ и абсолютной температурой $\text{T}$:

$ \frac{PV}{T} = \text{const} $

Изопроцессы — это термодинамические процессы, которые протекают в системе при неизменном значении одного из макроскопических параметров состояния ($\text{P}$, $\text{V}$ или $\text{T}$). Чтобы доказать, что уравнения изопроцессов являются частными случаями уравнения Клапейрона, рассмотрим каждый из трех основных изопроцессов.

Изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта)

Данный процесс происходит при постоянной температуре ($T = \text{const}$). Подставим это условие в уравнение Клапейрона:

$ \frac{PV}{T} = \text{const}_1 $

Поскольку температура $\text{T}$ является константой, мы можем умножить обе части уравнения на $\text{T}$:

$ PV = \text{const}_1 \cdot T $

Произведение двух постоянных величин ($\text{const}_1$ и $\text{T}$) также является постоянной величиной, которую мы обозначим как $\text{const}_2$. В результате получаем:

$ PV = \text{const}_2 $

Это выражение является математической формулировкой закона Бойля-Мариотта, который описывает изотермический процесс. Таким образом, он является частным случаем уравнения Клапейрона.

Изобарный процесс (закон Гей-Люссака)

Данный процесс происходит при постоянном давлении ($P = \text{const}$). Подставим это условие в уравнение Клапейрона:

$ \frac{PV}{T} = \text{const}_1 $

Поскольку давление $\text{P}$ является константой, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{P}$:

$ \frac{V}{T} = \frac{\text{const}_1}{P} $

Частное двух постоянных величин ($\text{const}_1$ и $\text{P}$) также является постоянной величиной, которую мы обозначим как $\text{const}_2$. В результате получаем:

$ \frac{V}{T} = \text{const}_2 $

Это выражение является математической формулировкой закона Гей-Люссака, который описывает изобарный процесс. Таким образом, он является частным случаем уравнения Клапейрона.

Изохорный процесс (закон Шарля)

Данный процесс происходит при постоянном объеме ($V = \text{const}$). Подставим это условие в уравнение Клапейрона:

$ \frac{PV}{T} = \text{const}_1 $

Поскольку объем $\text{V}$ является константой, мы можем разделить обе части уравнения на $\text{V}$:

$ \frac{P}{T} = \frac{\text{const}_1}{V} $

Частное двух постоянных величин ($\text{const}_1$ и $\text{V}$) также является постоянной величиной, которую мы обозначим как $\text{const}_2$. В результате получаем:

$ \frac{P}{T} = \text{const}_2 $

Это выражение является математической формулировкой закона Шарля, который описывает изохорный процесс. Таким образом, он является частным случаем уравнения Клапейрона.

Таким образом, мы показали, что уравнения для изотермического, изобарного и изохорного процессов напрямую выводятся из уравнения Клапейрона путем фиксации одного из параметров состояния (температуры, давления или объема соответственно). Это доказывает, что уравнения всех трёх изопроцессов являются частными случаями уравнения Клапейрона.

Ответ: Доказательство приведено выше, оно показывает, что при фиксации температуры ($T=\text{const}$), давления ($P=\text{const}$) или объема ($V=\text{const}$) в уравнении Клапейрона $ \frac{PV}{T} = \text{const} $, получаются соответственно уравнения изотермического ($PV = \text{const}$), изобарного ($ \frac{V}{T} = \text{const} $) и изохорного ($ \frac{P}{T} = \text{const} $) процессов.