Номер 1, страница 21, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава V. Молекулярная физика. Параграф 27. Уравнение состояния идеального газа - номер 1, страница 21.

Условие.

1. Выведите уравнение Клапейрона, используя другую пару изо-процессов (изобарный и изотермический или изохорный и изо-термический).

Решение 2.

Уравнение Клапейрона, также известное как объединенный газовый закон, устанавливает связь между давлением, объемом и абсолютной температурой для фиксированной массы идеального газа. Его можно вывести, рассмотрев переход газа из одного состояния в другое через последовательность двух изопроцессов. Ниже представлены два способа вывода, предложенные в задании.

Вывод уравнения Клапейрона с использованием изобарного и изотермического процессов

Решение

Пусть некоторая масса газа переходит из начального состояния 1, характеризуемого параметрами $p_1, V_1, T_1$, в конечное состояние 2 с параметрами $p_2, V_2, T_2$. Разобьем этот переход на два последовательных этапа, введя промежуточное состояние 1'.

Этап 1: Изобарный процесс ($p = \text{const}$).

На первом этапе переведем газ из состояния 1 ($p_1, V_1, T_1$) в промежуточное состояние 1' при постоянном давлении $p_1$. Температуру газа изменим до конечного значения $T_2$. При этом объем газа изменится и примет значение $V'$. Параметры промежуточного состояния 1' будут ($p_1, V', T_2$).

Для изобарного процесса справедлив закон Гей-Люссака:

$\frac{V}{T} = \text{const}$

Применительно к нашему переходу 1 → 1':

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V'}{T_2}$

Из этого соотношения выразим промежуточный объем $V'$:

$V' = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$ (1)

Этап 2: Изотермический процесс ($T = \text{const}$).

На втором этапе переведем газ из промежуточного состояния 1' ($p_1, V', T_2$) в конечное состояние 2 ($p_2, V_2, T_2$) при постоянной температуре $T_2$. При этом давление изменится с $p_1$ до $p_2$, а объем — с $V'$ до $V_2$.

Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$pV = \text{const}$

Применительно к нашему переходу 1' → 2:

$p_1 V' = p_2 V_2$ (2)

Теперь подставим выражение для объема $V'$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$p_1 \left( V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \right) = p_2 V_2$

Разделим обе части полученного равенства на $T_2$ (так как $T_2 \neq 0$) и сгруппируем параметры, относящиеся к каждому состоянию:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Это и есть искомое уравнение Клапейрона. Оно утверждает, что для данной массы газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре остается постоянным: $\frac{pV}{T} = \text{const}$.

Ответ: Уравнение Клапейрона $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$ было выведено путем последовательного применения законов для изобарного и изотермического процессов.

Вывод уравнения Клапейрона с использованием изохорного и изотермического процессов

Решение

Как и в первом случае, рассмотрим переход газа постоянной массы из состояния 1 ($p_1, V_1, T_1$) в состояние 2 ($p_2, V_2, T_2$) через промежуточное состояние 1'.

Этап 1: Изохорный процесс ($V = \text{const}$).

На первом этапе переведем газ из состояния 1 ($p_1, V_1, T_1$) в промежуточное состояние 1' при постоянном объеме $V_1$. Температуру изменим до конечного значения $T_2$. При этом давление изменится и примет значение $p'$. Параметры промежуточного состояния 1' будут ($p', V_1, T_2$).

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Применительно к нашему переходу 1 → 1':

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p'}{T_2}$

Из этого соотношения выразим промежуточное давление $p'$:

$p' = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$ (1)

Этап 2: Изотермический процесс ($T = \text{const}$).

На втором этапе переведем газ из промежуточного состояния 1' ($p', V_1, T_2$) в конечное состояние 2 ($p_2, V_2, T_2$) при постоянной температуре $T_2$. При этом объем изменится с $V_1$ до $V_2$, а давление — с $p'$ до $p_2$.

Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта:

$pV = \text{const}$

Применительно к нашему переходу 1' → 2:

$p' V_1 = p_2 V_2$ (2)

Теперь подставим выражение для давления $p'$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$\left( p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \right) V_1 = p_2 V_2$

Разделим обе части равенства на $T_2$ и сгруппируем параметры:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Мы снова получили уравнение Клапейрона: $\frac{pV}{T} = \text{const}$.

Ответ: Уравнение Клапейрона $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$ было выведено путем последовательного применения законов для изохорного и изотермического процессов.