Номер 13, страница 93, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 35. Электрические взаимодействия - номер 13, страница 93.

Условие.

13. Небольшие шарики с зарядами $\text{q}$ и $-4q$ закреплены на расстоянии 20 см друг от друга на длинном гладком пластмассовом стержне. Где на этом стержне надо поместить заряженную бусину, чтобы она находилась в равновесии?

Решение 2.

Дано:

Заряд первого шарика: $q_1 = q$

Заряд второго шарика: $q_2 = -4q$

Расстояние между шариками: $L = 20$ см

Перевод в систему СИ:

$L = 0.2$ м

Найти:

Положение $\text{x}$ заряженной бусины, в котором она будет находиться в равновесии.

Решение:

Для того чтобы бусина находилась в равновесии, векторная сумма сил, действующих на нее со стороны двух закрепленных шариков, должна быть равна нулю. Поскольку все три тела (два шарика и бусина) находятся на одной прямой (на стержне), силы, действующие на бусину, будут направлены вдоль этой прямой. Условие равновесия сводится к тому, что силы Кулона, действующие на бусину со стороны шариков, должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Пусть заряд бусины равен $q_3$. Знак и величина этого заряда не влияют на положение равновесия, так как он войдет в уравнение для сил с обеих сторон и сократится.

Введем систему координат. Пусть шарик с зарядом $q_1 = q$ находится в начале координат ($x_1 = 0$), а шарик с зарядом $q_2 = -4q$ находится в точке $x_2 = L = 20$ см. Рассмотрим три возможных участка на стержне, где может находиться бусина.

1. Бусина находится между шариками ($0 < x < L$).

Шарики имеют заряды разных знаков. Пусть для определенности $q > 0$ и заряд бусины $q_3 > 0$. Тогда шарик $q_1$ будет отталкивать бусину (сила $\vec{F}_1$ направлена вправо), а шарик $q_2$ будет притягивать ее (сила $\vec{F}_2$ также направлена вправо). Так как обе силы направлены в одну сторону, их сумма не может быть равна нулю. Если заряд бусины $q_3 < 0$, то обе силы будут направлены влево. Следовательно, в области между шариками равновесие невозможно.

2. Бусина находится справа от шарика с зарядом $q_2 = -4q$ ($x > L$).

В этом случае сила $\vec{F}_1$ (со стороны заряда $q_1$) будет направлена вправо (отталкивание), а сила $\vec{F}_2$ (со стороны заряда $q_2$) будет направлена влево (притяжение). Силы направлены в противоположные стороны, равновесие возможно. Условие равновесия: $F_1 = F_2$.

По закону Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q q_3|}{x^2}$

$F_2 = k \frac{|q_2 q_3|}{(x-L)^2} = k \frac{|-4q q_3|}{(x-L)^2} = k \frac{4|q q_3|}{(x-L)^2}$

Приравняем модули сил:

$k \frac{|q q_3|}{x^2} = k \frac{4|q q_3|}{(x-L)^2}$

Сократим одинаковые множители:

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(x-L)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{x-L}$

$x-L = 2x$

$x = -L$

Полученный результат $x = -L = -20$ см не удовлетворяет условию $x > L$. Следовательно, в этой области равновесие также невозможно. Это связано с тем, что в этой области бусина всегда будет ближе к более сильному по модулю заряду ($-4q$), поэтому сила притяжения к нему всегда будет больше силы отталкивания от более слабого заряда ($\text{q}$).

3. Бусина находится слева от шарика с зарядом $q_1 = q$ ($x < 0$).

В этом случае сила $\vec{F}_1$ направлена влево (отталкивание), а сила $\vec{F}_2$ направлена вправо (притяжение). Силы направлены в противоположные стороны, равновесие возможно. Расстояние от бусины до заряда $q_1$ равно $|x|$, а до заряда $q_2$ равно $L+|x| = L-x$ (так как $\text{x}$ отрицательно).

Условие равновесия $F_1 = F_2$:

$k \frac{|q q_3|}{(|x|)^2} = k \frac{|-4q q_3|}{(L-x)^2}$

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(L-x)^2}$

Извлечем квадратный корень:

$\frac{1}{|x|} = \frac{2}{L-x}$

Поскольку $x < 0$, то $|x| = -x$.

$\frac{1}{-x} = \frac{2}{L-x}$

$L-x = -2x$

$L = -x$

$x = -L$

Подставим значение $L = 20$ см:

$x = -20$ см

Это решение удовлетворяет условию $x < 0$. Таким образом, бусина должна быть расположена на расстоянии 20 см от шарика с зарядом $\text{q}$ в сторону, противоположную шарику с зарядом $-4q$.

Ответ: Бусину надо поместить на стержне на расстоянии 20 см от шарика с зарядом $\text{q}$ в сторону, противоположную шарику с зарядом $-4q$.