Номер 12, страница 92, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 35. Электрические взаимодействия - номер 12, страница 92.

Условие.

12. Небольшие шарики с положительными зарядами $\text{q}$ и $4q$ закреплены на концах гладкого пластмассового стержня длиной 15 см. По стержню может скользить заряженная бусина.

a) Где надо поместить бусину, чтобы она находилась в равновесии?

б) Каким должен быть знак заряда бусины, чтобы её положение равновесия было устойчивым?

Решение 2.

Дано:

$q_1 = q$

$q_2 = 4q$

$L = 15 \text{ см}$

$L = 0.15 \text{ м}$

Найти:

а) $\text{x}$ - положение равновесия бусины;

б) знак заряда бусины ($q_{б}$) для устойчивого равновесия.

Решение:

а) Где надо поместить бусину, чтобы она находилась в равновесии?

Для того чтобы бусина находилась в равновесии, равнодействующая всех сил, приложенных к ней, должна быть равна нулю. На заряженную бусину действуют две силы Кулона со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$.

$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$

Это означает, что силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Такое возможно только в том случае, если бусина находится на прямой, соединяющей заряды, между ними. Пусть бусина с зарядом $q_{б}$ находится на расстоянии $\text{x}$ от заряда $q_1 = q$. Тогда её расстояние до заряда $q_2 = 4q$ будет $L-x$.

Приравняем модули сил Кулона, действующих на бусину:

$F_1 = F_2$

$k \frac{|q_1 q_{б}|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_{б}|}{(L-x)^2}$

где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Можно сократить $\text{k}$, $|q_{б}|$ (при $q_{б} \ne 0$) и $|q|$:

$\frac{|q|}{x^2} = \frac{|4q|}{(L-x)^2}$

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(L-x)^2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку $\text{x}$ и $L-x$ являются расстояниями и, следовательно, положительны), получаем:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{L-x}$

Решим это уравнение:

$L - x = 2x$

$3x = L$

$x = \frac{L}{3}$

Подставим числовое значение $L = 15$ см:

$x = \frac{15 \text{ см}}{3} = 5 \text{ см}$

Равновесие будет достигаться на расстоянии 5 см от заряда $\text{q}$ и 10 см от заряда $4q$.

Ответ: Бусину надо поместить на стержне между зарядами на расстоянии 5 см от заряда $\text{q}$.

б) Каким должен быть знак заряда бусины, чтобы её положение равновесия было устойчивым?

Положение равновесия считается устойчивым, если при малом отклонении тела от этого положения возникает сила, стремящаяся вернуть тело обратно. Так как бусина может скользить только по стержню, мы рассматриваем устойчивость относительно смещений вдоль стержня.

Случай 1: Заряд бусины положительный ($q_{б} > 0$).

Поскольку все три заряда положительны, силы взаимодействия являются силами отталкивания. В положении равновесия эти силы скомпенсированы. Если сместить бусину немного вправо (к заряду $4q$), расстояние до $4q$ уменьшится, а до $\text{q}$ — увеличится. По закону Кулона ($F \sim 1/r^2$), сила отталкивания от заряда $4q$ станет больше, а от заряда $\text{q}$ — меньше. В результате результирующая сила будет направлена влево, т.е. к положению равновесия. Аналогично, при смещении влево результирующая сила будет направлена вправо. Такая сила называется возвращающей. Следовательно, при положительном заряде бусины равновесие является устойчивым.

Случай 2: Заряд бусины отрицательный ($q_{б} < 0$).

В этом случае заряды $\text{q}$ и $4q$ притягивают бусину. В положении равновесия силы притяжения скомпенсированы. Если сместить бусину немного вправо (к заряду $4q$), расстояние до него уменьшится, а до $\text{q}$ — увеличится. Сила притяжения к заряду $4q$ станет больше, а к заряду $\text{q}$ — меньше. Результирующая сила будет направлена вправо, то есть в сторону смещения. Эта сила будет удалять бусину еще дальше от положения равновесия. Следовательно, при отрицательном заряде бусины равновесие является неустойчивым.

Ответ: Знак заряда бусины должен быть положительным.