Номер 9, страница 197, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Лабораторные работы - номер 9, страница 197.

Условие.

*9. Измерение модуля Юнга

Цель работы: измерить на опыте модуль Юнга для резины.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, резиновый шнур¹⁾ длиной 10 см, груз из набора по механике, линейка, штангенциркуль²⁾, динамометр.

Подготовка к работе

1. Изучите описание работы.

2. Запишите в тетради вывод всех формул, используемых в работе $(\S 30).$

Содержание работы

Если удлинение резинового шнура в несколько раз меньше его длины, то для резинового шнура справедлив закон Гука, то есть модуль силы упругости $\text{F}$ прямо пропорционален его удлинению $\Delta l$:

$F = k\Delta l$, где $\text{k}$ — жёсткость шнура.

Жёсткость $\text{k}$ прямо пропорциональна площади $\text{S}$ поперечного сечения шнура и обратно пропорциональна его длине $\text{l}$. Поэтому

$F = ES\frac{\Delta l}{l}$

Здесь $\text{E}$ — модуль Юнга для резины. Из последнего уравнения следует, что

$E = \frac{Fl}{S\Delta l}$

Ход работы

• Руководствуясь описанием работы и используя предложенное оборудование, измерьте все величины, необходимые для определения модуля Юнга резины. Для растяжения резинового шнура используйте груз известной массы. Результаты измерений запишите в таблицу, заголовок которой приведён ниже.

$\text{l}$, м	$\Delta l$, м	$\text{F}$, Н	$\text{S}$, м2	$\text{E}$, Н/м2

• По результатам измерений вычислите и запишите модуль Юнга резины.

Решение 2.

Цель работы: измерить на опыте модуль Юнга для резины.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, резиновый шнур, груз из набора по механике, линейка, штангенциркуль, динамометр.

Подготовка к работе

Перед выполнением работы необходимо изучить теоретический материал, касающийся упругих деформаций твердых тел, и вывести рабочую формулу для расчета модуля Юнга, как это представлено в следующем разделе.

Содержание работы

Модуль Юнга (или модуль продольной упругости) $\text{E}$ — это физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться растяжению или сжатию при упругой деформации. Для материала, подчиняющегося закону Гука, модуль Юнга определяется как отношение механического напряжения $\sigma$ к относительному удлинению $\varepsilon$.

Если удлинение резинового шнура $\Delta l$ значительно меньше его начальной длины $\text{l}$, то для него справедлив закон Гука:

$F = k \cdot \Delta l$

где $\text{F}$ — модуль силы упругости, а $\text{k}$ — жёсткость шнура. Жёсткость, в свою очередь, зависит от размеров и материала шнура:

$k = \frac{E \cdot S}{l}$

где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения. Объединив эти две формулы, получаем выражение, связывающее силу упругости с параметрами образца:

$F = E \cdot S \cdot \frac{\Delta l}{l}$

Из этого соотношения выражаем искомую величину — модуль Юнга:

$E = \frac{F \cdot l}{S \cdot \Delta l}$

Данная формула является основной расчётной формулой в этой работе.

Ход работы

Для определения модуля Юнга резины необходимо экспериментально измерить все величины, входящие в расчётную формулу. Поскольку реальный эксперимент не проводится, выполним его симуляцию с использованием реалистичных значений.

Дано:

Начальная длина резинового шнура, $l = 10 \text{ см}$
Масса подвешенного груза, $m = 200 \text{ г}$
Диаметр поперечного сечения шнура, $d = 2 \text{ мм}$
Абсолютное удлинение шнура под действием груза, $\Delta l = 0.5 \text{ см}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

Перевод в систему СИ:
$l = 0.1 \text{ м}$
$m = 0.2 \text{ кг}$
$d = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta l = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Модуль Юнга для резины $\text{E}$.

Решение:

1. Определим силу упругости $\text{F}$. В состоянии равновесия она равна весу подвешенного груза $P = m \cdot g$:

$F = P = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 1.96 \text{ Н}$

2. Рассчитаем площадь поперечного сечения шнура $\text{S}$. Радиус шнура $r = d/2 = (2 \cdot 10^{-3} \text{ м}) / 2 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

$S = \pi r^2 = \pi \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \approx 3.14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

3. Подставим все измеренные и вычисленные значения в рабочую формулу для модуля Юнга:

$E = \frac{F \cdot l}{S \cdot \Delta l} = \frac{1.96 \text{ Н} \cdot 0.1 \text{ м}}{3.14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{0.196}{15.7 \cdot 10^{-9}} \text{ Н/м}^2 \approx 12484000 \text{ Н/м}^2 \approx 1.25 \cdot 10^7 \text{ Н/м}^2$

Полученное значение можно также выразить в мегапаскалях: $1.25 \cdot 10^7 \text{ Па} = 12.5 \text{ МПа}$.

4. Занесём результаты измерений и вычислений в итоговую таблицу:

$l, м$	$\Delta l, м$	$F, Н$	$S, м^2$	$E, Н/м^2$
0.1	$5 \cdot 10^{-3}$	1.96	$3.14 \cdot 10^{-6}$	$1.25 \cdot 10^7$

Вывод: В ходе выполнения работы был определён модуль Юнга для резины. На основе измерений начальной длины, диаметра, а также удлинения шнура под действием груза известной массы было рассчитано значение модуля упругости. Полученное значение $E \approx 1.25 \cdot 10^7 \text{ Н/м}^2$ (или $12.5 \text{ МПа}$) соответствует справочным данным для резины, что подтверждает корректность применённой методики.

Ответ: Модуль Юнга для резины, рассчитанный по результатам симуляции эксперимента, составляет $E \approx 1.25 \cdot 10^7 \text{ Н/м}^2$.