Номер 2, страница 222 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Параграф 38. Простые механизмы. Коэффициент полезного действия. Упражнения - номер 2, страница 222.

Условие.

2. По наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, рабочий поднял на высоту $h$ груз массой $M$. Коэффициент трения груза о плоскость равен $\mu$. Определите, во сколько раз совершённая при этом работа отличается от величины $M \cdot g \cdot h$.

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Высота подъема груза: $h$

Масса груза: $M$

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

Отношение совершенной работы $A$ к величине $Mgh$: $\frac{A}{Mgh}$

Решение:

Работа, совершаемая рабочим при подъеме груза по наклонной плоскости, идет на увеличение потенциальной энергии груза и на преодоление силы трения. Предположим, что груз перемещается равномерно, то есть без изменения кинетической энергии.

Полная работа $A$, совершенная рабочим, равна произведению приложенной силы $F$ на пройденное расстояние $s$:

$A = F \cdot s$

Сила $F$, которую должен приложить рабочий параллельно наклонной плоскости, должна уравновесить сумму проекции силы тяжести на эту плоскость $F_{т \parallel}$ и силы трения $F_{тр}$:

$F = F_{т \parallel} + F_{тр}$

Проекция силы тяжести на наклонную плоскость равна:

$F_{т \parallel} = Mg \sin(\alpha)$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры. Сила нормальной реакции опоры уравновешивает проекцию силы тяжести на направление, перпендикулярное наклонной плоскости:

$N = Mg \cos(\alpha)$

Следовательно, сила трения равна:

$F_{тр} = \mu Mg \cos(\alpha)$

Подставим выражения для сил в формулу для $F$:

$F = Mg \sin(\alpha) + \mu Mg \cos(\alpha) = Mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Расстояние $s$, которое проходит груз по наклонной плоскости, чтобы подняться на высоту $h$, можно найти из прямоугольного треугольника:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{s} \implies s = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Теперь можем вычислить работу $A$:

$A = F \cdot s = Mg(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Упростим полученное выражение:

$A = Mgh \cdot \frac{\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = Mgh \left(1 + \mu \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)$

Поскольку $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, получаем:

$A = Mgh(1 + \mu \cot(\alpha))$

Величина $Mgh$ — это работа, необходимая для подъема груза на высоту $h$ вертикально, или изменение его потенциальной энергии. Чтобы определить, во сколько раз совершенная работа $A$ отличается от этой величины, найдем их отношение:

$\frac{A}{Mgh} = \frac{Mgh(1 + \mu \cot(\alpha))}{Mgh} = 1 + \mu \cot(\alpha)$

Ответ: Совершенная работа больше величины $Mgh$ в $1 + \mu \cot(\alpha)$ раз.