Номер 5, страница 219 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 37. Применение условий равновесия при решении задач статики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 5, страница 219.

Условие.

5. К гладкой вертикальной стене на нити длиной $L$ подвешен шарик массой $M$. Радиус шарика равен $R$. Определите силу, с которой шарик давит на стену.

Решение.

Дано:

$L$ – длина нити

$M$ – масса шарика

$R$ – радиус шарика

Найти:

$F$ – сила, с которой шарик давит на стену.

Решение:

Шарик находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. На шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = M\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны стены, направленная горизонтально от стены (поскольку стена гладкая, сила трения отсутствует).

По третьему закону Ньютона, сила $F$, с которой шарик давит на стену, равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $N$. Таким образом, наша задача – найти величину силы $N$.

$\vec{F} = -\vec{N}$, $|F| = |N|$.

Условие равновесия шарика в векторном виде:

$\vec{T} + M\vec{g} + \vec{N} = 0$

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально от стены. Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат.

Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Тогда проекции сил будут следующими:

На ось OX: $N - T \sin\alpha = 0$

На ось OY: $T \cos\alpha - Mg = 0$

Из второго уравнения выразим силу натяжения нити $T$:

$T = \frac{Mg}{\cos\alpha}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$N - \frac{Mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = 0$

$N = Mg \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = Mg \tan\alpha$

Теперь найдем $\tan\alpha$ из геометрических соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный нитью (гипотенуза), радиусом шарика (горизонтальный катет) и вертикальным отрезком от точки подвеса до уровня центра шарика. Длина гипотенузы равна длине нити $L$. Длина горизонтального катета, противолежащего углу $\alpha$, равна радиусу шарика $R$. Длина вертикального катета, прилежащего к углу $\alpha$, по теореме Пифагора равна $\sqrt{L^2 - R^2}$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan\alpha = \frac{R}{\sqrt{L^2 - R^2}}$

Подставим найденное значение тангенса в формулу для силы $N$:

$N = Mg \frac{R}{\sqrt{L^2 - R^2}}$

Сила, с которой шарик давит на стену, равна по модулю силе нормальной реакции:

$F = N = Mg \frac{R}{\sqrt{L^2 - R^2}}$

Ответ: Сила, с которой шарик давит на стену, равна $Mg \frac{R}{\sqrt{L^2 - R^2}}$.