Номер 2, страница 215 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 36. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 2, страница 215.

Условие.

*2. Докажите, используя определение центра масс и момента силы, что равнодействующая сил тяжести, действующих на все части твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести, проходит через центр масс этого тела.

Решение.

Доказать:

Равнодействующая сил тяжести, действующих на все части твёрдого тела, находящегося в однородном поле тяжести, проходит через центр масс этого тела.

Решение:

Рассмотрим твёрдое тело как систему, состоящую из $N$ материальных точек (элементарных масс) $m_i$ с радиус-векторами $r_i$ ($i = 1, 2, ..., N$) относительно некоторого произвольного начала координат O.

1. Определение центра масс.
По определению, радиус-вектор центра масс $r_c$ системы материальных точек определяется выражением:
$r_c = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i r_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i}$
Обозначим полную массу тела как $M = \sum_{i=1}^{N} m_i$. Тогда выражение для центра масс можно переписать в виде:
$M r_c = \sum_{i=1}^{N} m_i r_i$ (1)

2. Сила тяжести и её равнодействующая.
По условию, тело находится в однородном поле тяжести. Это означает, что вектор ускорения свободного падения $g$ одинаков во всех точках пространства, занимаемого телом. Сила тяжести, действующая на $i$-ю элементарную массу, равна:
$F_i = m_i g$
Равнодействующая всех сил тяжести $F_{рез}$ является векторной суммой этих сил:
$F_{рез} = \sum_{i=1}^{N} F_i = \sum_{i=1}^{N} m_i g$
Поскольку вектор $g$ постоянен для всех точек, его можно вынести за знак суммы:
$F_{рез} = (\sum_{i=1}^{N} m_i) g = M g$ (2)

3. Момент силы.
Чтобы найти точку приложения равнодействующей силы, воспользуемся определением момента силы (вращающего момента). Момент силы $M_{torque}$ относительно начала координат O определяется как векторное произведение радиус-вектора $r$ точки приложения силы на вектор силы $F$:
$M_{torque} = [r \times F]$
Суммарный (общий) момент сил тяжести, действующих на все частицы тела, относительно начала координат O равен векторной сумме моментов отдельных сил:
$M_{общ} = \sum_{i=1}^{N} M_i = \sum_{i=1}^{N} [r_i \times F_i] = \sum_{i=1}^{N} [r_i \times (m_i g)]$

4. Связь суммарного момента сил с центром масс.
Используя свойство дистрибутивности векторного произведения и тот факт, что $g$ — константа, преобразуем выражение для суммарного момента:
$M_{общ} = \sum_{i=1}^{N} m_i [r_i \times g] = [\left(\sum_{i=1}^{N} m_i r_i\right) \times g]$
Теперь подставим в это выражение формулу (1), связывающую сумму $m_i r_i$ с центром масс:
$M_{общ} = [M r_c \times g]$
Используя свойство векторного произведения со скалярным множителем, перегруппируем члены:
$M_{общ} = [r_c \times (M g)]$ (3)

5. Вывод.
Сравним полученное выражение (3) с определением момента силы. Мы видим, что суммарный момент всех сил тяжести $M_{общ}$ равен моменту одной-единственной силы, равной $F_{рез} = M g$ (согласно выражению (2)), которая была бы приложена в точке с радиус-вектором $r_c$, то есть в центре масс.
$M_{общ} = [r_c \times F_{рез}]$
Это по определению означает, что действие всей совокупности элементарных сил тяжести, приложенных к разным точкам тела, эквивалентно действию одной равнодействующей силы $F_{рез}$, линия действия которой проходит через центр масс тела.

Таким образом, доказано, что равнодействующая сил тяжести, действующих на тело в однородном гравитационном поле, проходит через центр масс этого тела.
Ответ: Утверждение доказано.