Номер 1, страница 215 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 36. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 1, страница 215.

Условие.

1. Докажите, что момент пары сил относительно любой оси, которая перпендикулярна плоскости, содержащей линии действия сил пары, имеет одно и то же значение.

Решение.

1. Докажите, что момент пары сил относительно любой оси, которая перпендикулярна плоскости, содержащей линии действия сил пары, имеет одно и то же значение.

Решение

Пара сил — это система двух сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, которые равны по модулю ($|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = F$), параллельны и направлены в противоположные стороны ($\vec{F_1} = -\vec{F_2}$). Пусть эти силы приложены к точкам $A_1$ и $A_2$ соответственно. Линии действия этих сил лежат в некоторой плоскости $P$.

Рассмотрим произвольную ось $z$, перпендикулярную плоскости $P$. Пусть точка $O$ — точка пересечения оси $z$ с плоскостью $P$. Момент пары сил относительно оси $z$ равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил относительно той же оси.

Момент силы относительно оси есть проекция на эту ось вектора момента этой силы, вычисленного относительно любой точки на оси. Выберем точку $O$ в качестве такой точки. Пусть $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$ — радиус-векторы точек приложения сил $A_1$ и $A_2$ относительно точки $O$.

Вектор момента пары сил относительно точки $O$ определяется как:

$\vec{M_O} = (\vec{r_1} \times \vec{F_1}) + (\vec{r_2} \times \vec{F_2})$

Учитывая, что $\vec{F_1} = \vec{F}$ и $\vec{F_2} = -\vec{F}$, получаем:

$\vec{M_O} = (\vec{r_1} \times \vec{F}) + (\vec{r_2} \times (-\vec{F})) = (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \times \vec{F}$

Докажем, что этот вектор момента $\vec{M_O}$ не зависит от выбора точки $O$. Выберем другую произвольную точку $O'$ и вычислим момент относительно нее. Пусть радиус-вектор точки $O'$ относительно $O$ равен $\vec{a}$. Тогда радиус-векторы точек $A_1$ и $A_2$ относительно $O'$ будут $\vec{r_1}' = \vec{r_1} - \vec{a}$ и $\vec{r_2}' = \vec{r_2} - \vec{a}$.

$\vec{M_{O'}} = (\vec{r_1}' \times \vec{F}) + (\vec{r_2}' \times (-\vec{F})) = ((\vec{r_1} - \vec{a}) \times \vec{F}) - ((\vec{r_2} - \vec{a}) \times \vec{F})$

$\vec{M_{O'}} = (\vec{r_1} \times \vec{F} - \vec{a} \times \vec{F}) - (\vec{r_2} \times \vec{F} - \vec{a} \times \vec{F}) = \vec{r_1} \times \vec{F} - \vec{r_2} \times \vec{F} = (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \times \vec{F} = \vec{M_O}$

Таким образом, $\vec{M_{O'}} = \vec{M_O}$. Это означает, что вектор момента пары сил $\vec{M}$ является свободным вектором и не зависит от выбора точки, относительно которой он вычисляется. Его значение одинаково для любой точки в пространстве.

Теперь рассмотрим направление вектора $\vec{M}$. Он определяется как векторное произведение $\vec{M} = (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \times \vec{F}$. Вектор $\vec{r_1} - \vec{r_2}$ (соединяющий точки приложения сил) и вектор силы $\vec{F}$ лежат в плоскости $P$. По определению векторного произведения, их результат, вектор $\vec{M}$, перпендикулярен им обоим, а следовательно, перпендикулярен плоскости $P$.

Момент пары сил относительно оси $z$ ($M_z$) — это проекция вектора момента $\vec{M}$ на эту ось:

$M_z = \vec{M} \cdot \vec{k}$, где $\vec{k}$ — единичный вектор оси $z$.

По условию, любая рассматриваемая ось $z$ перпендикулярна плоскости $P$. Мы установили, что вектор момента пары $\vec{M}$ также всегда перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, вектор $\vec{M}$ всегда параллелен оси $z$.

Проекция вектора на параллельную ему ось равна модулю этого вектора (со знаком плюс или минус, в зависимости от взаимного направления).

$M_z = \vec{M} \cdot \vec{k} = |\vec{M}| \cdot |\vec{k}| \cdot \cos(\alpha) = \pm|\vec{M}|$, где $\alpha$ равен $0^\circ$ или $180^\circ$.

Величина $|\vec{M}|$ — это модуль момента пары сил, который равен произведению модуля одной из сил на плечо пары $h$ (кратчайшее расстояние между линиями действия сил): $|\vec{M}| = F \cdot h$.

Поскольку вектор момента $\vec{M}$ не зависит от выбора точки отсчета (а значит, и от положения оси в пространстве), а его направление всегда перпендикулярно плоскости $P$, его проекция на любую ось, перпендикулярную $P$, будет иметь одно и то же значение. Модуль этой проекции всегда будет равен $|\vec{M}| = F \cdot h$.

Следовательно, момент пары сил относительно любой оси, перпендикулярной плоскости, содержащей линии действия сил пары, имеет одно и то же значение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что вектор момента пары сил является свободным вектором (не зависит от точки, относительно которой он вычисляется) и всегда перпендикулярен плоскости действия сил. Поэтому его проекция на любую ось, перпендикулярную этой плоскости, является постоянной величиной, равной по модулю моменту пары.