Номер 4, страница 219 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 37. Применение условий равновесия при решении задач статики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 4, страница 219.

Условие.

4. Тяжёлый однородный цилиндр массой $M$ поднимают на ступеньку высотой $h$, прикладывая к его центру масс горизонтально направленную силу $\vec{F}$ (рис. 177). Определите минимальное значение этой силы, если радиус цилиндра равен $R$.

Рис. 177

Решение.

Дано:

Масса цилиндра: $M$

Радиус цилиндра: $R$

Высота ступеньки: $h$

Сила, приложенная к центру масс: $\vec{F}$ (горизонтальная)

Ускорение свободного падения: $g$

(Все величины представлены в системе СИ)

Найти:

Минимальное значение силы $F_{min}$

Решение:

Для того чтобы поднять цилиндр на ступеньку, необходимо приложить минимальную силу, достаточную для начала его вращения вокруг края ступеньки. Этот край будет являться осью вращения (точкой опоры O). В момент отрыва цилиндра от горизонтальной поверхности, сила реакции опоры со стороны этой поверхности становится равной нулю.

Рассмотрим условие равновесия моментов сил относительно точки опоры O в предельном случае, когда цилиндр вот-вот начнет подниматься. На цилиндр действуют силы, создающие момент относительно точки O: сила тяжести $\vec{F_g} = M\vec{g}$, приложенная к центру масс и направленная вертикально вниз, и приложенная горизонтальная сила $\vec{F}$. Сила реакции опоры со стороны края ступеньки проходит через ось вращения, поэтому ее момент равен нулю.

Условие равновесия моментов сил заключается в том, что момент силы, стремящейся поднять цилиндр (создаваемый силой $\vec{F}$), должен быть равен моменту силы, препятствующей подъему (создаваемый силой тяжести $\vec{F_g}$).

Момент силы определяется как произведение модуля силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент силы $\vec{F}$ относительно точки O равен $M_F = F \cdot l_F$. Плечо силы $l_F$, исходя из геометрии рисунка, равно вертикальному расстоянию от центра цилиндра до края ступеньки: $l_F = R - h$. Таким образом, $M_F = F \cdot (R - h)$.

Момент силы тяжести $\vec{F_g}$ относительно точки O равен $M_g = F_g \cdot l_g = Mg \cdot l_g$. Плечо силы тяжести $l_g$ - это горизонтальное расстояние от центра цилиндра до точки опоры O. Найдем его из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$ (гипотенуза), катетом $(R-h)$ и искомым плечом $l_g$. По теореме Пифагора:

$R^2 = l_g^2 + (R-h)^2$

$l_g^2 = R^2 - (R-h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$

$l_g = \sqrt{2Rh - h^2}$

Таким образом, момент силы тяжести равен $M_g = Mg \sqrt{2Rh - h^2}$.

В момент начала подъема моменты уравновешивают друг друга:

$M_F = M_g$

$F \cdot (R - h) = Mg \sqrt{2Rh - h^2}$

Отсюда находим минимальное значение силы $F$:

$F_{min} = \frac{Mg \sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}$

Эту формулу можно также записать в виде:

$F_{min} = \frac{Mg \sqrt{h(2R - h)}}{R - h}$

Ответ: Минимальное значение силы равно $F_{min} = \frac{Mg \sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}$.