Номер 2, страница 219 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 37. Применение условий равновесия при решении задач статики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 2, страница 219.

Условие.

2. Однородный цилиндр поставили на наклонную плоскость. Высота цилиндра равна $H$, а его радиус – $R$. Определите максимальный угол наклона плоскости к горизонту, при котором цилиндр ещё не будет опрокидываться.

Решение.

Дано:

Высота однородного цилиндра - $H$

Радиус основания цилиндра - $R$

Найти:

Максимальный угол наклона плоскости к горизонту $\alpha_{max}$

Решение:

Цилиндр, стоящий на наклонной плоскости, находится в равновесии до тех пор, пока вертикальная линия, проведенная через его центр масс, пересекает площадь опоры (в данном случае, основание цилиндра). Опрокидывание начинается в тот момент, когда эта вертикальная линия выходит за пределы площади опоры, то есть проходит через крайнюю точку основания.

Поскольку цилиндр однородный, его центр масс (точка C) расположен на оси симметрии на высоте $h = \frac{H}{2}$ от основания.

Рассмотрим поперечное сечение цилиндра. В предельном случае, когда цилиндр вот-вот начнет опрокидываться, сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс C, создает момент силы относительно точки опоры O (край основания), который уравновешивается моментом силы реакции опоры. Это эквивалентно тому, что проекция центра масс на горизонтальную плоскость находится точно над точкой опоры O.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром масс C, центром основания A и крайней точкой опоры O. Катеты этого треугольника равны:

1. Расстояние от центра основания до края опоры, равное радиусу $R$.

2. Высота центра масс над основанием, равная $\frac{H}{2}$.

Угол $\alpha$ между вертикалью и осью цилиндра равен углу наклона плоскости. В предельном состоянии равновесия этот угол определяется из соотношения в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha_{max}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{R}{H/2}$

Отсюда получаем выражение для тангенса максимального угла наклона:

$\tan(\alpha_{max}) = \frac{2R}{H}$

Сам максимальный угол будет равен:

$\alpha_{max} = \arctan\left(\frac{2R}{H}\right)$

Это условие справедливо при допущении, что сила трения достаточна, чтобы предотвратить соскальзывание цилиндра до момента опрокидывания.

Ответ: Максимальный угол наклона плоскости $\alpha_{max}$, при котором цилиндр ещё не будет опрокидываться, определяется соотношением $\tan(\alpha_{max}) = \frac{2R}{H}$, или $\alpha_{max} = \arctan\left(\frac{2R}{H}\right)$.