Номер 3, страница 219 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 37. Применение условий равновесия при решении задач статики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 3, страница 219.

Условие.

3. Определите положение центра масс тонкого однородного диска с вырезом (рис. 176).

Рис. 176

Решение.

Дано

Тонкий однородный диск радиусом $R$.

В диске имеется круглый вырез радиусом $r$.

Центр выреза находится на расстоянии $R/2$ от центра диска.

Из рисунка следует, что вырез касается края диска, следовательно, радиус выреза $r = R/2$.

Найти:

Положение центра масс $x_c$ диска с вырезом.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом отрицательной массы. Представим диск с вырезом как систему, состоящую из сплошного диска радиусом $R$ с положительной массой $M$ и малого диска радиусом $r=R/2$ с отрицательной массой $-m$, который совпадает с вырезом.

Выберем систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром большого диска, а ось $x$ проходила через центры большого диска и выреза. В силу симметрии, центр масс итоговой фигуры будет лежать на оси $x$, то есть его координата $y_c = 0$.

Координата центра масс сплошного диска $x_1 = 0$.

Координата центра выреза $x_2 = R/2$.

Масса тонкого однородного диска пропорциональна его площади ($m \propto S$). Пусть $\sigma$ — поверхностная плотность материала диска.

Масса сплошного диска: $M = \sigma \cdot S_1 = \sigma \pi R^2$.

Масса вырезанной части (малого диска): $m = \sigma \cdot S_2 = \sigma \pi r^2 = \sigma \pi (R/2)^2 = \sigma \pi R^2 / 4$.

Отсюда видно, что $m = M/4$.

Координата центра масс $x_c$ системы находится по формуле:

$x_c = \frac{M x_1 - m x_2}{M - m}$

Подставим известные значения:

$x_c = \frac{M \cdot 0 - m \cdot (R/2)}{M - m} = \frac{-m R/2}{M - m}$

Теперь подставим соотношение масс $m = M/4$:

$x_c = \frac{-(M/4) \cdot (R/2)}{M - M/4} = \frac{-MR/8}{3M/4}$

Сокращая $M$ и упрощая дробь, получаем:

$x_c = -\frac{R}{8} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4R}{24} = -\frac{R}{6}$

Знак "минус" указывает на то, что центр масс смещен в сторону, противоположную вырезу, относительно центра исходного диска.

Ответ: Центр масс диска с вырезом находится на расстоянии $R/6$ от центра большого диска в сторону, противоположную вырезу.