Номер 4, страница 402 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 71. Теорема Гаусса. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 4, страница 402.

Условие.

*4. Выведите теорему Гаусса для гравитационного поля.

Решение.

Решение

Теорема Гаусса для гравитационного поля устанавливает связь между потоком вектора напряженности гравитационного поля через произвольную замкнутую поверхность и массой, заключенной внутри этой поверхности. Выведем эту теорему, исходя из закона всемирного тяготения Ньютона.

1. Напряженность гравитационного поля и его поток.

Гравитационное поле, создаваемое точечной массой $M$ на расстоянии $r$ от нее, описывается вектором напряженности $\vec{g}$:

$\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная, а $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от массы $M$ к точке наблюдения. Знак "минус" указывает на то, что поле является полем притяжения, то есть вектор $\vec{g}$ направлен к источнику поля, массе $M$.

Потоком вектора напряженности гравитационного поля $\Phi_g$ через произвольную замкнутую поверхность $S$ называется интеграл по этой поверхности:

$\Phi_g = \oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S}$

где $d\vec{S}$ — вектор элементарной площадки, равный по модулю ее площади $dS$ и направленный по внешней нормали к поверхности.

2. Вычисление потока для сферической поверхности.

Рассмотрим простейший случай: точечная масса $M$ находится в центре воображаемой сферы радиуса $r$. Вектор напряженности поля $\vec{g}$ в любой точке на поверхности сферы направлен радиально к центру. Вектор нормали к поверхности сферы $d\vec{S}$ в каждой точке направлен радиально от центра. Таким образом, векторы $\vec{g}$ и $d\vec{S}$ в каждой точке поверхности противоположно направлены.

Скалярное произведение $\vec{g} \cdot d\vec{S}$ равно:

$\vec{g} \cdot d\vec{S} = g \cdot dS \cdot \cos(180^\circ) = -g \cdot dS = -\left(G \frac{M}{r^2}\right) dS$

Теперь вычислим полный поток, проинтегрировав это выражение по всей поверхности сферы. Так как на поверхности сферы радиуса $r$ модуль напряженности поля $g$ постоянен, его можно вынести за знак интеграла:

$\Phi_g = \oint_S \left(-G \frac{M}{r^2}\right) dS = -G \frac{M}{r^2} \oint_S dS$

Интеграл $\oint_S dS$ представляет собой сумму площадей всех элементарных площадок, то есть полную площадь поверхности сферы, которая равна $4\pi r^2$.

Подставляя это значение, получаем:

$\Phi_g = -G \frac{M}{r^2} \cdot (4\pi r^2) = -4\pi G M$

Важно отметить, что полученный результат не зависит от радиуса $r$ выбранной сферы.

3. Обобщение на произвольную замкнутую поверхность.

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности $S$, окружающей массу $M$. Поток через элементарную площадку $dS$ произвольной поверхности равен $d\Phi_g = \vec{g} \cdot d\vec{S} = g \cdot dS \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между $\vec{g}$ и $d\vec{S}$.

Подставляя выражение для $g$ и учитывая, что $\vec{g}$ направлен против $\hat{r}$, получаем:

$d\Phi_g = -G \frac{M}{r^2} (\hat{r} \cdot d\vec{S}) = -G \frac{M}{r^2} dS \cos\theta$

где $\theta$ — это угол между направлением от массы $\hat{r}$ и нормалью $d\vec{S}$. Величина $\frac{dS \cos\theta}{r^2} = d\Omega$ является элементарным телесным углом, под которым из точки расположения массы $M$ видна площадка $dS$.

Следовательно, элементарный поток можно записать как $d\Phi_g = -G M d\Omega$.

Полный поток через замкнутую поверхность $S$ равен интегралу по полному телесному углу. Полный телесный угол, под которым из любой внутренней точки видна замкнутая поверхность, равен $4\pi$ стерадиан.

$\Phi_g = \oint_S d\Phi_g = \int -G M d\Omega = -G M \int d\Omega = -4\pi G M$

Если масса $M$ находится вне замкнутой поверхности, то полный поток через нее равен нулю, так как любая силовая линия, входящая в поверхность, также и выходит из нее, и полный телесный угол равен нулю.

4. Принцип суперпозиции и итоговая формулировка.

Если внутри замкнутой поверхности находится система из $N$ точечных масс $M_i$, то по принципу суперпозиции результирующее гравитационное поле равно векторной сумме полей, создаваемых каждой массой: $\vec{g} = \sum_{i=1}^{N} \vec{g}_i$.

Тогда полный поток будет равен сумме потоков от каждой массы:

$\Phi_g = \oint_S \left(\sum_i \vec{g}_i\right) \cdot d\vec{S} = \sum_i \oint_S \vec{g}_i \cdot d\vec{S}$

Каждая масса $M_i$, находящаяся внутри поверхности, создаст поток $-4\pi G M_i$, а каждая масса снаружи — нулевой поток. Таким образом, полный поток равен:

$\Phi_g = -4\pi G \sum_{i, \text{внутри}} M_i = -4\pi G M_{вн}$

где $M_{вн}$ — полная масса, заключенная внутри замкнутой поверхности $S$. Это и есть теорема Гаусса для гравитационного поля в интегральной форме.

5. Дифференциальная форма.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, которая связывает поток вектора через замкнутую поверхность с интегралом от дивергенции этого вектора по объему $V$, ограниченному этой поверхностью:

$\oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S} = \int_V (\nabla \cdot \vec{g}) dV$

С другой стороны, массу внутри объема можно выразить через плотность вещества $\rho(x, y, z)$:

$M_{вн} = \int_V \rho dV$

Приравнивая выражения для потока, получаем:

$\int_V (\nabla \cdot \vec{g}) dV = -4\pi G \int_V \rho dV$

Так как это равенство должно выполняться для любого произвольного объема $V$, то должны быть равны и подынтегральные выражения:

$\nabla \cdot \vec{g} = -4\pi G \rho$

Это дифференциальная форма теоремы Гаусса для гравитационного поля.

Ответ: Теорема Гаусса для гравитационного поля утверждает, что поток вектора напряженности гравитационного поля $\vec{g}$ через любую замкнутую поверхность $S$ равен произведению $-4\pi G$ на полную массу $M_{вн}$, заключенную внутри этой поверхности.

В интегральной форме теорема записывается как:

$\oint_S \vec{g} \cdot d\vec{S} = -4\pi G M_{вн}$

В дифференциальной форме:

$\nabla \cdot \vec{g} = -4\pi G \rho$

где $G$ — гравитационная постоянная, а $\rho$ — локальная плотность массы.