Номер 2, страница 402 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 71. Теорема Гаусса. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 2, страница 402.

Условие.

2. Шар радиусом $R$ заряжен равномерно по объёму. Заряд шара равен $Q$. Определите модуль напряжённости электростатического поля в произвольной точке на расстоянии $r$ от центра шара. Постройте график зависимости модуля напряжённости от $r$. (Подсказка: объём шара радиусом $r$ равен $4\pi \cdot r^3/3$.)

Решение.

Дано:

Шар радиусом $R$

Полный заряд шара $Q$

Заряд распределен равномерно по объему

Найти:

Модуль напряженности $E$ на расстоянии $r$ от центра шара: $E(r)$

График зависимости $E(r)$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса для электростатического поля. В силу сферической симметрии задачи, удобно выбрать в качестве замкнутой поверхности (гауссовой поверхности) сферу радиусом $r$, концентрическую с заряженным шаром.

Теорема Гаусса гласит: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0}$, где $E$ – модуль напряженности поля, $S$ – площадь гауссовой поверхности, $Q_{внутр}$ – заряд, заключенный внутри этой поверхности, $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

Для сферической поверхности поток равен $E \cdot 4\pi r^2$.

Так как заряд распределен равномерно по объему, введем объемную плотность заряда $\rho$:

$\rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Рассмотрим два случая.

1. Точка находится внутри шара ($r \le R$)

Гауссова поверхность радиусом $r$ находится внутри заряженного шара. Заряд $Q_{внутр}$, находящийся внутри этой поверхности, равен:

$Q_{внутр} = \rho \cdot V_r = \left(\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = Q \frac{r^3}{R^3}$

Подставим это в теорему Гаусса:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0} = \frac{Q r^3}{\varepsilon_0 R^3}$

Отсюда выразим модуль напряженности поля $E$:

$E = \frac{Q r^3}{4\pi\varepsilon_0 R^3 r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q r}{R^3}$

Внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от центра.

2. Точка находится вне шара ($r > R$)

Гауссова поверхность радиусом $r$ окружает весь заряженный шар. Следовательно, весь заряд шара $Q$ находится внутри этой поверхности: $Q_{внутр} = Q$.

Подставим это в теорему Гаусса:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

Отсюда выразим модуль напряженности поля $E$:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

Вне шара поле убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, как поле точечного заряда $Q$.

Построение графика зависимости $E(r)$

На границе шара при $r = R$ значения напряженности, вычисленные по обеим формулам, совпадают:

$E(R) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q R}{R^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$

Это максимальное значение напряженности поля.

График зависимости $E(r)$ состоит из двух частей:

1. При $0 \le r \le R$ напряженность растет линейно от $0$ до $E_{max} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$. Это отрезок прямой линии, выходящий из начала координат.

2. При $r > R$ напряженность убывает по закону $1/r^2$ от значения $E_{max}$ и асимптотически стремится к нулю. Это ветвь кривой, похожей на гиперболу.

Ответ: Модуль напряжённости электростатического поля в зависимости от расстояния $r$ от центра шара определяется piecewise функцией:

$E(r) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q r}{R^3}, & \text{если } r \le R \\\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}, & \text{если } r > R \end{cases}$

График зависимости модуля напряжённости $E$ от расстояния $r$: на отрезке от $r=0$ до $r=R$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и достигающую максимума $E_{max} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ в точке $r=R$. При $r > R$ график является убывающей кривой (обратно-квадратичная зависимость), которая асимптотически приближается к оси абсцисс.