Номер 4, страница 401 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 71. Теорема Гаусса. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 4, страница 401.

Условие.

4. Сформулируйте теорему Гаусса для напряжённости электрического поля.

Решение.

4. Теорема Гаусса для напряжённости электростатического поля в вакууме (также известная как закон Гаусса) является одним из фундаментальных законов электродинамики, входящим в систему уравнений Максвелла. Она устанавливает связь между потоком вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность и находящимся внутри этой поверхности электрическим зарядом.

Словесная формулировка теоремы: Поток вектора напряжённости электрического поля $\vec{E}$ через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность (называемую гауссовой поверхностью) равен алгебраической сумме электрических зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

В интегральной форме теорема Гаусса записывается следующим образом:

$\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$

В этой формуле:

$\Phi_E$ – это поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность $S$.

$\oint_S$ – интеграл по замкнутой поверхности $S$.

$\vec{E}$ – вектор напряжённости электрического поля.

$d\vec{S}$ – вектор элементарной площадки, который по модулю равен площади этой площадки $dS$ и направлен по внешней нормали к поверхности.

$Q_{вн}$ – полный (суммарный) электрический заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности $S$. Важно отметить, что заряды, находящиеся вне поверхности, не влияют на величину полного потока.

$\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, диэлектрическая проницаемость вакуума ($\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м).

Теорема Гаусса также существует в дифференциальной форме, которая связывает локальные характеристики поля и зарядов в каждой точке пространства:

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Здесь $\nabla \cdot \vec{E}$ (или $\text{div} \vec{E}$) – дивергенция вектора напряжённости, а $\rho$ – объёмная плотность заряда в данной точке. Эта форма показывает, что электрические заряды являются источниками (если $\rho > 0$) или стоками (если $\rho < 0$) электрического поля.

Теорема Гаусса является мощным инструментом для вычисления напряжённости электрических полей в задачах, обладающих высокой симметрией (сферической, цилиндрической или плоской), так как позволяет упростить вычисление интеграла.

Ответ: Теорема Гаусса гласит, что поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен отношению суммарного заряда, заключённого внутри этой поверхности, к электрической постоянной $\varepsilon_0$. Математически это выражается формулой: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$.