Номер 6, страница 401 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Параграф 71. Теорема Гаусса. Вопросы - номер 6, страница 401.

Условие.

6. Какова напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, внутри и вне этой сферы?

Решение.

Решение

Для нахождения напряжённости электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, используется теорема Гаусса. Эта теорема утверждает, что поток вектора напряжённости электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному электрическому заряду, заключённому внутри этой поверхности.

Формула теоремы Гаусса: $ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} $, где $ \vec{E} $ — вектор напряжённости, $d\vec{S}$ — вектор элементарной площадки, $Q_{вн}$ — заряд внутри замкнутой поверхности $S$, а $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Рассмотрим сферическую поверхность (не шар) радиусом $R$, несущую на себе полный заряд $Q$, равномерно распределённый по ней. Из-за сферической симметрии распределения заряда, электрическое поле в любой точке будет направлено по радиусу от центра сферы (если $Q > 0$) или к центру (если $Q < 0$), и его величина будет зависеть только от расстояния $r$ до центра сферы.

Напряжённость поля внутри сферы ($r < R$)

Чтобы найти напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии $r$ от центра ($r < R$), выберем в качестве замкнутой поверхности (поверхности Гаусса) сферу радиусом $r$, концентрическую с заряженной сферой. Весь заряд $Q$ распределён по поверхности сферы радиусом $R$. Следовательно, внутри гауссовой поверхности радиусом $r < R$ зарядов нет, то есть $Q_{вн} = 0$.

Поток вектора напряжённости через нашу гауссову поверхность равен $ \oint_S E dS = E \cdot (4\pi r^2) $, так как вектор $ \vec{E} $ перпендикулярен поверхности в каждой точке и его модуль постоянен на этой поверхности.

Применяя теорему Гаусса, получаем:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0} = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$

Из этого уравнения следует, что $E = 0$. Таким образом, напряжённость электрического поля в любой точке внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю.

Ответ: Напряжённость поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю.

Напряжённость поля вне сферы ($r \ge R$)

Теперь найдём напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии $r$ от центра, где $r \ge R$. В качестве поверхности Гаусса снова выберем сферу радиусом $r$, концентрическую с заряженной сферой. В этом случае весь заряд $Q$ исходной сферы оказывается внутри гауссовой поверхности, поэтому $Q_{вн} = Q$.

Поток вектора напряжённости через поверхность Гаусса по-прежнему равен $E \cdot 4\pi r^2$.

Применяем теорему Гаусса:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

Отсюда выражаем модуль напряжённости поля $E$:

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$

Данная формула совпадает с формулой напряжённости поля точечного заряда $Q$, расположенного в центре сферы. Это означает, что для всех точек вне сферы её поле эквивалентно полю точечного заряда, помещённого в её центр.

Ответ: Напряжённость поля вне равномерно заряженной сферы на расстоянии $r$ от её центра ($r \ge R$) определяется по формуле $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ и эквивалентна полю точечного заряда $Q$, расположенного в центре сферы.