Номер 1, страница 402 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 71. Теорема Гаусса. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 1, страница 402.

Условие.

1. Заряды двух концентрических равномерно заряженных сфер с радиусами $r_1$ и $r_2$ ($r_2 > r_1$) равны $q_1$ и $q_2$ соответственно. Определите модуль напряжённости электростатического поля в произвольной точке на расстоянии $r$ от центра этих сфер. Постройте график зависимости модуля напряжённости этого поля от $r$.

Решение.

Дано:

Две концентрические равномерно заряженные сферы.

Радиус внутренней сферы: $r_1$.

Заряд внутренней сферы: $q_1$.

Радиус внешней сферы: $r_2$ ($r_2 > r_1$).

Заряд внешней сферы: $q_2$.

Найти:

1. Модуль напряженности электростатического поля $E$ в произвольной точке на расстоянии $r$ от центра сфер.

2. Построить график зависимости $E(r)$.

Решение:

Для нахождения напряженности электростатического поля воспользуемся теоремой Гаусса и принципом суперпозиции полей.

Теорема Гаусса для напряженности электрического поля гласит, что поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, заключенному внутри этой поверхности: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\epsilon_0}$.

В силу сферической симметрии задачи, напряженность поля в любой точке на расстоянии $r$ от центра будет направлена радиально, и ее модуль будет зависеть только от $r$. В качестве гауссовой поверхности удобно выбрать сферу радиусом $r$. Тогда поток будет равен $E \cdot 4\pi r^2$.

Отсюда модуль напряженности поля: $E = \frac{|Q_{вн}|}{4\pi\epsilon_0 r^2} = k\frac{|Q_{вн}|}{r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ - постоянная Кулона, а $Q_{вн}$ - заряд, заключенный внутри гауссовой сферы радиусом $r$.

Результирующее поле является суммой полей, создаваемых каждой сферой в отдельности. Поле, создаваемое равномерно заряженной сферой радиусом $R$ с зарядом $q$, равно:

- $E=0$ при $r < R$ (внутри сферы);

- $E=k\frac{|q|}{r^2}$ при $r \ge R$ (снаружи сферы).

Рассмотрим три области пространства.

1. Внутри малой сферы ($0 \le r < r_1$)

Выберем гауссову сферу радиусом $r < r_1$. Внутри этой поверхности нет зарядов, так как оба заряда $q_1$ и $q_2$ находятся на сферах с радиусами $r_1$ и $r_2$.

$Q_{вн} = 0$.

Следовательно, напряженность поля в этой области равна нулю: $E(r) = 0$.

2. Между сферами ($r_1 \le r < r_2$)

Выберем гауссову сферу радиусом $r$, где $r_1 \le r < r_2$. Эта поверхность охватывает внутреннюю сферу с зарядом $q_1$, но не охватывает внешнюю сферу с зарядом $q_2$.

Заряд внутри гауссовой поверхности: $Q_{вн} = q_1$.

Модуль напряженности поля в этой области: $E(r) = k\frac{|q_1|}{r^2}$.

3. Вне обеих сфер ($r \ge r_2$)

Выберем гауссову сферу радиусом $r \ge r_2$. Эта поверхность охватывает обе заряженные сферы.

Суммарный заряд внутри гауссовой поверхности: $Q_{вн} = q_1 + q_2$.

Модуль напряженности поля в этой области: $E(r) = k\frac{|q_1 + q_2|}{r^2}$.

Сводка результатов:

Модуль напряженности электростатического поля как функция расстояния $r$ от центра сфер задается кусочно-непрерывной функцией:

$E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le r < r_1 \\k\frac{|q_1|}{r^2}, & \text{если } r_1 \le r < r_2 \\k\frac{|q_1 + q_2|}{r^2}, & \text{если } r \ge r_2 \end{cases}$

Построение графика зависимости $E(r)$:

Вид графика зависит от знаков и величин зарядов $q_1$ и $q_2$. Построим качественный график для случая, когда $|q_1 + q_2| > |q_1|$ (например, если оба заряда одного знака).

- При $0 \le r < r_1$ график совпадает с осью абсцисс ($E=0$).

- В точке $r = r_1$ напряженность скачкообразно возрастает от $0$ до $E(r_1) = k\frac{|q_1|}{r_1^2}$.

- В области $r_1 \le r < r_2$ напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния ($E \sim 1/r^2$). При $r \to r_2^-$, напряженность стремится к значению $E = k\frac{|q_1|}{r_2^2}$.

- В точке $r = r_2$ напряженность снова скачкообразно изменяется до значения $E(r_2) = k\frac{|q_1 + q_2|}{r_2^2}$. В рассматриваемом случае $|q_1 + q_2| > |q_1|$, поэтому происходит скачок вверх.

- При $r \ge r_2$ напряженность снова убывает по закону $E \sim 1/r^2$.

В случае, если знаки зарядов разные или один из них равен нулю, вид скачка в точке $r=r_2$ и поведение поля при $r \ge r_2$ изменятся. Например, если $q_1 + q_2 = 0$, то поле вне второй сферы будет равно нулю. Если $|q_1+q_2| < |q_1|$, то в точке $r=r_2$ будет скачок напряженности вниз.

Ответ: Модуль напряженности электростатического поля в точке на расстоянии $r$ от центра сфер равен:

$E(r) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le r < r_1 \\\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q_1|}{r^2}, & \text{если } r_1 \le r < r_2 \\\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q_1 + q_2|}{r^2}, & \text{если } r \ge r_2 \end{cases}$

Качественный график зависимости $E(r)$ представлен в решении.