Номер 3, страница 402 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 71. Теорема Гаусса. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 3, страница 402.

Условие.

*3. Поверхностные плотности зарядов трёх параллельных плоскостей равны соответственно $\sigma_1 = 2 \text{ нКл/м}^2$, $\sigma_2 = 3 \text{ нКл/м}^2$ и $\sigma_3 = -5 \text{ нКл/м}^2$. Эти плоскости перпендикулярны оси X и пересекают её в точках с координатами $x_1 = 5 \text{ см}$, $x_2 = 10 \text{ см}$ и $x_3 = 15 \text{ см}$ соответственно. Постройте график зависимости проекции на ось X напряжённости электростатического поля, создаваемого этими плоскостями, при изменении координаты $x$ от 0 до 20 см.

Решение.

Дано:

Поверхностные плотности зарядов:

$\sigma_1 = 2 \text{ нКл/м}^2$

$\sigma_2 = 3 \text{ нКл/м}^2$

$\sigma_3 = -5 \text{ нКл/м}^2$

Координаты плоскостей:

$x_1 = 5 \text{ см}$

$x_2 = 10 \text{ см}$

$x_3 = 15 \text{ см}$

Рассматриваемый диапазон: $x$ от 0 до 20 см.

Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$.

Перевод в систему СИ:

$\sigma_1 = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл/м}^2$

$\sigma_2 = 3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл/м}^2$

$\sigma_3 = -5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл/м}^2$

$x_1 = 0.05 \text{ м}$

$x_2 = 0.10 \text{ м}$

$x_3 = 0.15 \text{ м}$

Найти:

Построить график зависимости проекции напряжённости электростатического поля на ось X, $E_x(x)$, при изменении координаты $x$ от 0 до 0.2 м.

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, по модулю равна $E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ и направлена перпендикулярно плоскости. Направление вектора напряжённости $\vec{E}$ зависит от знака заряда $\sigma$: от плоскости, если $\sigma > 0$, и к плоскости, если $\sigma < 0$.

Проекция напряжённости поля, создаваемого одной плоскостью с координатой $x_i$ и плотностью заряда $\sigma_i$, на ось X в точке с координатой $x$ определяется как:

$E_{ix} = \frac{\sigma_i}{2\varepsilon_0}$, если $x > x_i$

$E_{ix} = -\frac{\sigma_i}{2\varepsilon_0}$, если $x < x_i$

Результирующая напряжённость поля в любой точке пространства находится по принципу суперпозиции как векторная сумма напряжённостей полей, создаваемых каждой из плоскостей: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$.

Соответственно, проекция результирующей напряжённости на ось X равна сумме проекций: $E_x = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x}$.

Разобьём ось X на четыре области, в пределах которых напряжённость поля постоянна.

1. Область I: $0 \le x < x_1$ (от 0 до 5 см)

В этой области $x < x_1$, $x < x_2$ и $x < x_3$.

$E_x = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x} = -\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} = -\frac{\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3}{2\varepsilon_0}$

Подставим значения:

$E_x = -\frac{2 \cdot 10^{-9} + 3 \cdot 10^{-9} - 5 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = -\frac{0}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = 0 \text{ В/м}$

2. Область II: $x_1 < x < x_2$ (от 5 до 10 см)

В этой области $x > x_1$, но $x < x_2$ и $x < x_3$.

$E_x = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x} = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2 - \sigma_3}{2\varepsilon_0}$

Подставим значения:

$E_x = \frac{2 \cdot 10^{-9} - 3 \cdot 10^{-9} - (-5 \cdot 10^{-9})}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{(2 - 3 + 5) \cdot 10^{-9}}{1.77 \cdot 10^{-11}} = \frac{4 \cdot 10^{-9}}{1.77 \cdot 10^{-11}} \approx 226 \text{ В/м}$

3. Область III: $x_2 < x < x_3$ (от 10 до 15 см)

В этой области $x > x_1$, $x > x_2$, но $x < x_3$.

$E_x = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x} = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2 - \sigma_3}{2\varepsilon_0}$

Подставим значения:

$E_x = \frac{2 \cdot 10^{-9} + 3 \cdot 10^{-9} - (-5 \cdot 10^{-9})}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{(2 + 3 + 5) \cdot 10^{-9}}{1.77 \cdot 10^{-11}} = \frac{10 \cdot 10^{-9}}{1.77 \cdot 10^{-11}} \approx 565 \text{ В/м}$

4. Область IV: $x_3 < x \le 20$ см (от 15 до 20 см)

В этой области $x > x_1$, $x > x_2$ и $x > x_3$.

$E_x = E_{1x} + E_{2x} + E_{3x} = \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3}{2\varepsilon_0}$

Подставим значения:

$E_x = \frac{2 \cdot 10^{-9} + 3 \cdot 10^{-9} - 5 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = \frac{0}{2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} = 0 \text{ В/м}$

Построение графика:

График зависимости $E_x(x)$ представляет собой ступенчатую функцию. Ось абсцисс — координата $x$ в см, ось ординат — проекция напряжённости $E_x$ в В/м.
- На участке от $x = 0$ до $x = 5$ см, график представляет собой горизонтальную линию на уровне $E_x = 0$ В/м.
- В точке $x = 5$ см происходит скачок напряжённости от 0 до 226 В/м.
- На участке от $x = 5$ см до $x = 10$ см, график — горизонтальная линия на уровне $E_x \approx 226$ В/м.
- В точке $x = 10$ см происходит скачок напряжённости от 226 В/м до 565 В/м.
- На участке от $x = 10$ см до $x = 15$ см, график — горизонтальная линия на уровне $E_x \approx 565$ В/м.
- В точке $x = 15$ см напряжённость скачком падает от 565 В/м до 0 В/м.
- На участке от $x = 15$ см до $x = 20$ см, график — горизонтальная линия на уровне $E_x = 0$ В/м.

Ответ: Проекция напряжённости электростатического поля на ось X в зависимости от координаты $x$ имеет следующие значения:
При $0 \le x < 5$ см: $E_x = 0$ В/м.
При $5 < x < 10$ см: $E_x \approx 226$ В/м.
При $10 < x < 15$ см: $E_x \approx 565$ В/м.
При $15 < x \le 20$ см: $E_x = 0$ В/м.
График этой зависимости является ступенчатой функцией с разрывами в точках $x=5$ см, $x=10$ см и $x=15$ см.