Номер 14, страница 165 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.8. Электромагнитные волны. Длина волны. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 14, страница 165.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Индуктивность контура $L = 1 \text{ мкГн} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Длина испускаемой электромагнитной волны $\lambda = 50 \text{ м}$

Скорость распространения электромагнитных волн $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Ёмкость контура $C$.

Решение:

Колебательный контур излучает электромагнитную волну с частотой, равной собственной частоте колебаний в контуре. Период этих колебаний $T$ связан с длиной волны $\lambda$ и скоростью ее распространения $c$ следующей формулой:

$\lambda = c \cdot T$

Отсюда можно выразить период колебаний:

$T = \frac{\lambda}{c}$

С другой стороны, период собственных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Приравняв оба выражения для периода $T$, получим:

$2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для того чтобы найти ёмкость $C$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi\sqrt{LC})^2 = \left(\frac{\lambda}{c}\right)^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Теперь выразим ёмкость $C$ из этого уравнения:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2Lc^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$C = \frac{(50 \text{ м})^2}{4\pi^2 \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{2500}{4\pi^2 \cdot 10^{-6} \cdot 9 \cdot 10^{16}} = \frac{2500}{36\pi^2 \cdot 10^{10}} \text{ Ф}$

Выполним вычисления, приняв $\pi^2 \approx 9.87$:

$C \approx \frac{2500}{36 \cdot 9.87 \cdot 10^{10}} = \frac{2500}{355.32 \cdot 10^{10}} \approx 7.036 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

Полученное значение удобно выразить в пикофарадах (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C = 7.036 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 703.6 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 704 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость контура приблизительно равна $7.04 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$ или $704 \text{ пФ}$.