Номер 11, страница 165 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.8. Электромагнитные волны. Длина волны. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 11, страница 165.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная длина волны, на которую настроен контур, $\lambda_1 = 15$ м.

Конечная длина волны, на которую нужно настроить контур, $\lambda_2 = 30$ м.

Ёмкость конденсатора не изменяется, $C_1 = C_2 = C$.

Найти:

Во сколько раз нужно изменить индуктивность катушки, то есть найти отношение $\frac{L_2}{L_1}$.

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с периодом электромагнитных колебаний $T$ в нём соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Период собственных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Подставив выражение для периода в формулу для длины волны, получим:

$\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

Запишем это уравнение для двух состояний контура:

Для начального состояния: $\lambda_1 = 2\pi c\sqrt{L_1 C}$

Для конечного состояния: $\lambda_2 = 2\pi c\sqrt{L_2 C}$

Чтобы найти, как изменилась индуктивность, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c\sqrt{L_2 C}}{2\pi c\sqrt{L_1 C}} = \sqrt{\frac{L_2 C}{L_1 C}} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение индуктивностей, возведя обе части уравнения в квадрат:

$\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{30 \text{ м}}{15 \text{ м}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, чтобы настроить контур на волну длиной 30 м, индуктивность катушки необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: индуктивность катушки колебательного контура необходимо увеличить в 4 раза.