Номер 13, страница 165 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12. Электромагнитные колебания и волны. 12.8. Электромагнитные волны. Длина волны - номер 13, страница 165.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 10 \text{ нФ}$

Длина волны, $\lambda = 300 \text{ м}$

Скорость распространения электромагнитных волн, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в СИ:

$C = 10 \text{ нФ} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 10^{-8} \text{ Ф}$

Найти:

Индуктивность контура, $L - ?$

Решение:

Для того чтобы радиоприёмник мог принимать электромагнитную волну, необходимо, чтобы частота собственных колебаний в его колебательном контуре совпадала с частотой этой волны. Это явление называется резонансом. При резонансе периоды колебаний также равны.

Период электромагнитной волны ($T_{волны}$) можно найти, зная её длину ($\lambda$) и скорость распространения ($c$):

$T_{волны} = \frac{\lambda}{c}$

Период собственных колебаний в LC-контуре ($T_{контура}$) определяется формулой Томсона:

$T_{контура} = 2\pi\sqrt{LC}$

Из условия резонанса $T_{контура} = T_{волны}$ следует:

$2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для нахождения индуктивности $L$ выразим её из этого уравнения. Сначала возведём обе части в квадрат:

$(2\pi\sqrt{LC})^2 = \left(\frac{\lambda}{c}\right)^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Теперь выразим $L$:

$L = \frac{\lambda^2}{4\pi^2Cc^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$L = \frac{(300 \text{ м})^2}{4\pi^2 \cdot 10^{-8} \text{ Ф} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{9 \cdot 10^4}{4\pi^2 \cdot 10^{-8} \cdot 9 \cdot 10^{16}} = \frac{9 \cdot 10^4}{36\pi^2 \cdot 10^8} = \frac{10^4}{4\pi^2 \cdot 10^8} = \frac{10^{-4}}{4\pi^2} \text{ Гн}$

Произведём вычисления, приняв $\pi \approx 3.14$:

$L \approx \frac{10^{-4}}{4 \cdot (3.14)^2} \approx \frac{10^{-4}}{4 \cdot 9.8596} \approx \frac{10^{-4}}{39.4384} \approx 0.02535 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} \approx 2.54 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Полученное значение удобно выразить в микрогенри (1 мкГн = $10^{-6}$ Гн):

$L \approx 2.54 \text{ мкГн}$

Ответ: индуктивность контура должна быть примерно $2.54 \cdot 10^{-6}$ Гн или 2.54 мкГн.