Номер 10, страница 165 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

12.8. Электромагнитные волны. Длина волны. 12. Электромагнитные колебания и волны - номер 10, страница 165.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная длина волны $λ_1 = 100$ м

Конечная длина волны $λ_2 = 25$ м

Индуктивность катушки $L$ - постоянная величина ($L_1 = L_2 = L$)

Найти:

Во сколько раз и как нужно изменить ёмкость конденсатора $C$? (Найти отношение $\frac{C_2}{C_1}$)

Решение:

Для настройки колебательного контура радиоприёмника на определённую длину волны используется формула Томсона, которая связывает период колебаний $T$ с индуктивностью $L$ и ёмкостью $C$ контура, и связь длины волны $λ$ с периодом $T$.

Период собственных электромагнитных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Длина волны $λ$, на которую настроен контур, связана с периодом колебаний $T$ и скоростью света в вакууме $c$ соотношением:

$λ = c \cdot T$

Подставим выражение для периода $T$ в формулу для длины волны:

$λ = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

Запишем это уравнение для двух состояний контура: начального (индекс 1) и конечного (индекс 2).

Для начальной настройки на волну $λ_1$ с ёмкостью $C_1$:

$λ_1 = 2\pi c\sqrt{LC_1}$

Для конечной настройки на волну $λ_2$ с ёмкостью $C_2$:

$λ_2 = 2\pi c\sqrt{LC_2}$

Поскольку индуктивность катушки $L$ по условию не изменяется, мы можем найти отношение ёмкостей, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{λ_2}{λ_1} = \frac{2\pi c\sqrt{LC_2}}{2\pi c\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{LC_2}{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Чтобы найти отношение ёмкостей $\frac{C_2}{C_1}$, возведём обе части полученного уравнения в квадрат:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{λ_2}{λ_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{25 \text{ м}}{100 \text{ м}}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$

Таким образом, новая ёмкость $C_2$ должна быть в 16 раз меньше начальной ёмкости $C_1$.

Ответ: ёмкость конденсатора необходимо уменьшить в 16 раз.