Номер 13, страница 181 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.15.2. Формулы специальной теории относительности. 13. Оптика - номер 13, страница 181.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Увеличение массы электрона: $\Delta m = 200\% \cdot m_0$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$v$ — скорость электрона.

Решение:

Масса тела, движущегося со скоростью $v$, связана с его массой покоя $m_0$ соотношением из специальной теории относительности:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $m$ — релятивистская масса, $m_0$ — масса покоя, $v$ — скорость тела, $c$ — скорость света в вакууме.

По условию задачи, масса электрона увеличилась на 200%. Это означает, что новая масса $m$ равна массе покоя $m_0$ плюс 200% от массы покоя:

$m = m_0 + 200\% \cdot m_0 = m_0 + \frac{200}{100} m_0 = m_0 + 2m_0 = 3m_0$

Теперь подставим это соотношение в формулу для релятивистской массы:

$3m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Сократим $m_0$ в обеих частях уравнения:

$3 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Сначала преобразуем выражение:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Теперь выразим $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $v$:

$v = \sqrt{\frac{8}{9}c^2} = c \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = c \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Вычислим числовое значение скорости. Примем $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с и $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$v \approx (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \frac{2 \cdot 1.414}{3} = (2 \cdot 1.414) \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.83 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Скорость также можно выразить в долях скорости света:

$v = \frac{2\sqrt{2}}{3}c \approx 0.943c$

Ответ: электрон должен двигаться со скоростью $v = \frac{2\sqrt{2}}{3}c \approx 2.83 \cdot 10^8$ м/с.