Номер 8, страница 181 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.15.2. Формулы специальной теории относительности. 13. Оптика - номер 8, страница 181.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сокращение продольных размеров тела: $L_0 / L = 2$, где $L_0$ — собственная длина тела, $L$ — длина движущегося тела.

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

Скорость тела $v$.

Решение:

Эффект сокращения продольных размеров тела, движущегося с релятивистской скоростью, описывается формулой Лоренцева сокращения:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $L$ — длина объекта в системе отсчёта, относительно которой он движется, $L_0$ — собственная длина объекта (в системе отсчёта, где он покоится), $v$ — скорость объекта, $c$ — скорость света.

По условию задачи, продольные размеры уменьшились в 2 раза, то есть $L = \frac{L_0}{2}$. Подставим это соотношение в формулу:

$\frac{L_0}{2} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Разделим обе части уравнения на $L_0$ (так как собственная длина не равна нулю):

$\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Для того чтобы найти $v$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{1}{2})^2 = (\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}})^2$

$\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Теперь выразим член $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

Извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти отношение $\frac{v}{c}$:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Наконец, выразим искомую скорость $v$:

$v = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим числовые значения. Значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, скорость света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

$v \approx (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \frac{1.732}{2} \approx (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot 0.866$

$v \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Округляя, получаем, что скорость тела должна составлять примерно 86.6% от скорости света.

Ответ: чтобы продольные размеры тела уменьшились в 2 раза, оно должно двигаться со скоростью $v = c \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.