Номер 11, страница 181 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.15.2. Формулы специальной теории относительности. 13. Оптика - номер 11, страница 181.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Отношение релятивистской массы $m$ к массе покоя $m_0$: $\frac{m}{m_0} = 2$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

Скорость электрона $v$.

Решение:

Связь между релятивистской массой $m$ и массой покоя $m_0$ частицы, движущейся со скоростью $v$, выражается формулой специальной теории относительности:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $v$ — скорость частицы, $c$ — скорость света в вакууме.

Согласно условию задачи, релятивистская масса электрона в 2 раза больше его массы покоя:

$m = 2m_0$

Подставим это соотношение в формулу для релятивистской массы:

$2m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Сократим обе части уравнения на $m_0$ (масса покоя не равна нулю):

$2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Сначала найдем знаменатель:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$\left(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4}$

Теперь выразим член $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}$

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим скорость $v$:

$v = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя значение $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с, вычислим числовое значение скорости:

$v \approx (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}) \cdot \frac{1.732}{2} = (3 \cdot 10^8 \, \text{м/с}) \cdot 0.866$

$v \approx 2.598 \cdot 10^8 \, \text{м/с}$

Скорость также можно выразить через долю от скорости света: $v \approx 0.866c$.

Ответ: $v \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с или $v = c\frac{\sqrt{3}}{2}$.