Номер 9, страница 181 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13. Оптика. 13.15.2. Формулы специальной теории относительности - номер 9, страница 181.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Собственная длина ребра куба, $L_0 = 1$ м

Скорость куба относительно земного наблюдателя, $v = 0.75c$

(Все данные представлены в системе СИ или в величинах, стандартных для теории относительности).

Найти:

Объём куба в системе отсчета земного наблюдателя, $V$.

Решение:

Эта задача решается с помощью специальной теории относительности, а именно с использованием эффекта лоренцева сокращения длины. Согласно этому эффекту, размеры объекта, движущегося с релятивистской скоростью, сокращаются в направлении движения для неподвижного наблюдателя.

В собственной системе отсчета (связанной с кубом) он имеет объём $V_0 = L_0^3 = (1 \text{ м})^3 = 1 \text{ м}^3$.

Для земного наблюдателя куб движется со скоростью $v = 0.75c$. В условии сказано, что вектор скорости перпендикулярен двум противолежащим граням. Это означает, что движение происходит вдоль одного из рёбер куба. Назовём это направление осью X.

Длина ребра, параллельного направлению движения ($L_x$), будет сокращаться. Новая длина $L_x$ вычисляется по формуле: $L_x = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ где $L_0$ — собственная длина ребра, $v$ — скорость объекта, $c$ — скорость света.

Размеры рёбер, перпендикулярных направлению движения ($L_y$ и $L_z$), не изменяются: $L_y = L_0 = 1$ м

$L_z = L_0 = 1$ м

Вычислим фактор сокращения $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Подставим $v = 0.75c$: $\frac{v^2}{c^2} = \frac{(0.75c)^2}{c^2} = 0.75^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Теперь найдём корень: $\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Теперь можно рассчитать сокращённую длину ребра $L_x$: $L_x = L_0 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 1 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ м

Для земного наблюдателя куб будет выглядеть как прямоугольный параллелепипед с рёбрами $L_x, L_y, L_z$. Его объём $V$ будет равен произведению этих длин: $V = L_x \cdot L_y \cdot L_z = \left(\frac{\sqrt{7}}{4} \text{ м}\right) \cdot (1 \text{ м}) \cdot (1 \text{ м}) = \frac{\sqrt{7}}{4} \text{ м}^3$

Можно также вычислить приближенное числовое значение: $V \approx \frac{2.64575}{4} \text{ м}^3 \approx 0.6614 \text{ м}^3$ Округляя до двух значащих цифр (как в $0.75c$), получаем $0.66 \text{ м}^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{7}}{4} \text{ м}^3 \approx 0.66 \text{ м}^3$.