Номер 2, страница 180 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.15.2. Формулы специальной теории относительности. 13. Оптика - номер 2, страница 180.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса электрона: $m$

Масса позитрона: $m$

Найти:

Максимальная энергия кванта $E_{max}$

Решение:

Аннигиляция — это процесс, при котором частица сталкивается со своей античастицей, в результате чего они исчезают, а их масса и энергия преобразуются в энергию других частиц, например, фотонов (квантов электромагнитного излучения). В данном случае аннигилируют электрон и его античастица, позитрон.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до реакции должна быть равна полной энергии системы после реакции. Полная энергия каждой частицы складывается из её энергии покоя и кинетической энергии. Формула для полной энергии частицы, согласно специальной теории относительности, имеет вид:

$E = E_0 + K = mc^2 + K$

где $m$ — масса покоя частицы, $c$ — скорость света в вакууме, а $K$ — её кинетическая энергия.

Полная энергия системы до аннигиляции равна сумме полных энергий электрона и позитрона:

$E_{до} = E_{электрон} + E_{позитрон} = (mc^2 + K_{e^-}) + (mc^2 + K_{e^+}) = 2mc^2 + K_{общ}$

где $K_{общ}$ — суммарная кинетическая энергия электрона и позитрона до столкновения.

В условии задачи сказано, что в результате аннигиляции образуется один квант электромагнитного излучения (фотон). Энергия этого фотона составляет всю энергию системы после реакции:

$E_{после} = E_{кванта}$

Из закона сохранения энергии следует:

$E_{кванта} = E_{до} = 2mc^2 + K_{общ}$

Вопрос ставится о максимальной энергии этого кванта. Энергия кванта зависит от начальной кинетической энергии частиц. Поскольку начальная кинетическая энергия может быть сколь угодно большой, теоретически энергия кванта не ограничена сверху. Однако в контексте таких задач обычно рассматривается энергия, выделяющаяся за счёт превращения массы покоя частиц, так как это фундаментальный результат процесса аннигиляции. Часто подразумевается простейший случай, когда частицы покоятся ($K_{общ} = 0$). В этом случае вся энергия покоя частиц переходит в энергию кванта.

Таким образом, энергия, освобождающаяся за счёт исчезновения массы двух частиц, равна сумме их энергий покоя:

$E = mc^2 + mc^2 = 2mc^2$

Эта величина представляет собой минимально возможную энергию, выделяемую в процессе аннигиляции (в случае $K_{общ}=0$), и именно эту энергию, полученную из массы, как правило, и требуется найти. Слово "максимальная" в вопросе может быть истолковано как указание на то, что вся масса частиц полностью переходит в энергию кванта.

Примечание: Для сохранения импульса аннигиляция с образованием одного фотона возможна только в присутствии третьей частицы (например, атомного ядра), которая воспримет импульс отдачи. В свободном пространстве аннигиляция покоящейся электрон-позитронной пары приводит к возникновению как минимум двух фотонов, разлетающихся в противоположных направлениях. Если следовать условию задачи буквально, то энергия единственного образовавшегося кванта равна $2mc^2$ (при нулевой начальной кинетической энергии).

Ответ: Максимальная энергия, получаемая от преобразования массы покоя электрона и позитрона в энергию одного кванта, равна $2mc^2$.