Номер 1, страница 35 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 2. Основы кинематики. Параграф 6. Механическое движение. Перемещение. Скорость. Задания и упражнения - номер 1, страница 35.

Условие.

1. Какой вид будет иметь траектория движения тела, если известно, что оно движется с постоянными по модулю скоростью и ускорением? При этом вектор ускорения тела направлен перпендикулярно вектору скорости движения тела в каждой точке траектории.

Решение.

1. Дано:

Модуль скорости тела постоянен: $|\vec{v}| = v = const$.
Модуль ускорения тела постоянен: $|\vec{a}| = a = const$.
Вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости в каждой точке траектории: $\vec{a} \perp \vec{v}$.

Найти:

Вид траектории движения тела.

Решение:

Полное ускорение тела $\vec{a}$ можно представить в виде векторной суммы двух компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_{n}$.

Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ сонаправлено с вектором скорости $\vec{v}$ (или противоположно ему) и отвечает за изменение модуля скорости. Его величина определяется как производная модуля скорости по времени:

$a_{\tau} = \frac{dv}{dt}$

Согласно условию задачи, модуль скорости постоянен ($v = const$). Следовательно, его производная по времени равна нулю:

$a_{\tau} = \frac{d(const)}{dt} = 0$

Это означает, что тангенциальная составляющая ускорения отсутствует.

Нормальное ускорение $\vec{a}_{n}$ всегда перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$ и направлено к центру кривизны траектории. Оно отвечает за изменение направления вектора скорости. Его модуль вычисляется по формуле:

$a_{n} = \frac{v^2}{R}$

где $\text{R}$ — радиус кривизны траектории.

Так как полное ускорение $\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_{n}$ и $a_{\tau} = 0$, то полное ускорение равно нормальному: $\vec{a} = \vec{a}_{n}$. Это полностью соответствует условию, что вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости.

По условию, модуль полного ускорения постоянен: $|\vec{a}| = a = const$. Поскольку $\vec{a} = \vec{a}_{n}$, то и модуль нормального ускорения также постоянен:

$a_{n} = a = const$

Теперь мы можем приравнять два выражения для нормального ускорения:

$a = \frac{v^2}{R}$

Выразим из этой формулы радиус кривизны $\text{R}$:

$R = \frac{v^2}{a}$

Поскольку по условию модуль скорости $\text{v}$ и модуль ускорения $\text{a}$ являются постоянными величинами, то и радиус кривизны траектории $\text{R}$ также является постоянной величиной ($R = const$).

Траектория движения, имеющая постоянный радиус кривизны во всех своих точках, — это окружность.

Ответ: Траектория движения тела будет представлять собой окружность.