Номер 4, страница 35 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 2. Основы кинематики. Параграф 6. Механическое движение. Перемещение. Скорость. Задания и упражнения - номер 4, страница 35.

Условие.

4. На рис. 16 изображены участок траектории движущегося тела (материальной точки) и радиусы-векторы, определяющие его положения в системе отсчёта $XOY$.

а) Укажите координаты тела, если оно находится в точке $\text{A}$ траектории.

б) Найдите проекцию радиуса-вектора $\vec{r_2}$ тела на оси координат $OX$ и $OY$ в точке $\text{B}$ траектории, если угол между радиусом-вектором и осью $OX$ равен $30^{\circ}$.

Рис. 16

в) Как связаны между собой координаты $\text{x}$ и $\text{y}$ тела с модулем радиуса-вектора $r_1$ и углом $\alpha$ между осями координат $OX$ и $OY$?

Решение.

а) Укажите координаты тела, если оно находится в точке А траектории.

Для определения координат точки А на плоскости XOY необходимо опустить перпендикуляры из этой точки на оси координат OX и OY.

Из рисунка видно, что перпендикуляр, опущенный на ось OX, попадает в точку с координатой 9 км. Перпендикуляр, опущенный на ось OY, попадает в точку с координатой 5 км.

Ответ: Координаты тела в точке А: $x_A = 9$ км, $y_A = 5$ км.

б) Найдите проекцию радиус-вектора $\vec{r}_2$ тела на оси координат ОХ и ОУ в точке В траектории, если угол между радиус-вектором и осью ОХ равен 30°.

Дано:

Координаты точки B из графика: $x_B = 14$ км, $y_B = 4$ км.

Угол, упомянутый в условии (для справки): $\alpha = 30^\circ$.

$x_B = 14 \text{ км} = 14 \cdot 10^3 \text{ м}$
$y_B = 4 \text{ км} = 4 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

Проекции радиус-вектора $\vec{r}_2$ на оси OX и OY: $r_{2x}$, $r_{2y}$.

Решение:

Радиус-вектор $\vec{r}_2$ проведен из начала координат O(0, 0) в точку B. По определению, проекции радиус-вектора на оси координат равны координатам его конечной точки.

Определим координаты точки B по графику. Опустив перпендикуляры из точки B на оси, получаем:

Координата по оси OX: $x_B = 14$ км.

Координата по оси OY: $y_B = 4$ км.

Таким образом, проекции радиус-вектора $\vec{r}_2$ на оси координат равны:

$r_{2x} = x_B = 14$ км

$r_{2y} = y_B = 4$ км

Примечание: Условие об угле в 30° противоречит данным графика. Для точки B(14; 4) угол $\alpha$ между радиус-вектором и осью OX составил бы $\alpha = \arctan(\frac{y_B}{x_B}) = \arctan(\frac{4}{14}) \approx 16^\circ$. Поскольку в задаче требуется найти проекции для точки B, показанной на траектории, мы используем ее графические координаты.

Ответ: Проекция на ось OX: $r_{2x} = 14$ км; проекция на ось OY: $r_{2y} = 4$ км.

в) Как связаны между собой координаты x и y тела с модулем радиус-вектора $r_1$ и углом $\alpha$ между осями координат ОХ и ОУ?

В вопросе, по-видимому, имеется неточность. В стандартной прямоугольной системе координат, изображенной на рисунке, угол между осями OX и OY всегда равен 90°. Скорее всего, под углом $\alpha$ подразумевается угол между радиус-вектором $\vec{r}_1$ и положительным направлением оси OX.

При таком предположении, связь между декартовыми координатами $(x, y)$ и полярными координатами $(r_1, \alpha)$ устанавливается следующими соотношениями:

1. Модуль радиус-вектора $r_1$ (длина отрезка OA) находится по теореме Пифагора:

$r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$

2. Координаты $\text{x}$ и $\text{y}$, являющиеся проекциями радиус-вектора на оси, выражаются через его модуль $r_1$ и угол $\alpha$ с помощью тригонометрических функций:

$x = r_1 \cdot \cos(\alpha)$

$y = r_1 \cdot \sin(\alpha)$

Ответ: Связь определяется формулами: $r_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$ (для модуля), $x = r_1 \cdot \cos(\alpha)$ и $y = r_1 \cdot \sin(\alpha)$ (для координат), где $\alpha$ — это угол между радиус-вектором и осью OX.