Номер 2, страница 35 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 2. Основы кинематики. Параграф 6. Механическое движение. Перемещение. Скорость. Задания и упражнения - номер 2, страница 35.

Условие.

2. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно $200 \text{ км}$, одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Модуль скорости движения первого автомобиля равен $60 \text{ км/ч}$, модуль скорости движения второго автомобиля — $90 \text{ км/ч}$. Найдите время движения автомобилей до встречи и координату их встречи. Движение автомобилей считать равномерным и прямолинейным.

Решение.

Дано:

$S = 200$ км

$v_1 = 60$ км/ч

$v_2 = 90$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$S = 200 \text{ км} = 200 \cdot 1000 \text{ м} = 200000 \text{ м}$

$v_1 = 60 \text{ км/ч} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с} \approx 16,67 \text{ м/с}$

$v_2 = 90 \text{ км/ч} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{t}$ — время движения до встречи

$\text{x}$ — координата встречи

Решение:

Для удобства будем производить вычисления в километрах и часах, так как все данные приведены в этих единицах.

Выберем одномерную систему координат. Пусть начало координат ($x=0$) совпадает с точкой старта первого автомобиля, а ось $Ox$ направлена в сторону второго автомобиля. Тогда начальная координата первого автомобиля $x_{01} = 0$, а второго $x_{02} = S = 200$ км.

Поскольку движение равномерное и прямолинейное, уравнение движения имеет вид $x(t) = x_0 + v_x t$.

Первый автомобиль движется в положительном направлении оси $Ox$, поэтому его скорость $v_{1x} = v_1 = 60$ км/ч. Уравнение его движения:

$x_1(t) = 0 + 60t = 60t$

Второй автомобиль движется навстречу первому, то есть против направления оси $Ox$. Его скорость $v_{2x} = -v_2 = -90$ км/ч. Уравнение его движения:

$x_2(t) = 200 - 90t$

В момент встречи $\text{t}$ их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти время встречи:

$60t = 200 - 90t$

$60t + 90t = 200$

$150t = 200$

$t = \frac{200}{150} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ ч

Переведем время в более привычный формат: $\frac{4}{3} \text{ ч} = 1 \frac{1}{3} \text{ ч} = 1 \text{ час } 20 \text{ минут}$.

Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время в любое из уравнений движения. Подставим в уравнение для первого автомобиля:

$x = x_1(t) = 60 \cdot \frac{4}{3} = \frac{240}{3} = 80$ км

Для проверки подставим во второе уравнение:

$x = x_2(t) = 200 - 90 \cdot \frac{4}{3} = 200 - 30 \cdot 4 = 200 - 120 = 80$ км

Результаты совпадают. Координата встречи находится на расстоянии 80 км от точки старта первого автомобиля.

Альтернативный способ нахождения времени:

Так как автомобили движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 + 90 = 150$ км/ч

Время до встречи можно найти, разделив начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{200}{150} = \frac{4}{3}$ ч

Ответ: время движения автомобилей до встречи составляет $\frac{4}{3}$ часа (или 1 час 20 минут), координата их встречи — 80 км от точки выезда первого автомобиля.