Номер 6, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 25. Потенциальная энергия. Теорема о потенциальной энергии. Задания и упражнения - номер 6, страница 135.

Условие.

* 6. Тонкая пластина массой $8 \text{ кг}$ лежит на горизонтальном столе. В центре пластины укреплена пружина, жёсткость которой равна $80 \text{ Н/м}$. Какую работу нужно совершить, чтобы на пружине поднять пластину на высоту $1 \text{ м}$ от поверхности стола? Модуль ускорения свободного падения принять равным $10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Масса пластины $m = 8$ кг
Жёсткость пружины $k = 80$ Н/м
Высота подъёма $h = 1$ м
Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²
Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Работу $\text{A}$.

Решение:

Работа $\text{A}$, которую нужно совершить, чтобы поднять пластину, по теореме о кинетической энергии равна изменению полной механической энергии системы "пластина-пружина". Так как в начальном и конечном состояниях пластина покоится, изменение кинетической энергии равно нулю. Следовательно, работа внешней силы идет на изменение потенциальной энергии системы.

$A = \Delta E_p = E_{p, \text{конечная}} - E_{p, \text{начальная}}$

В начальном состоянии пластина лежит на столе ($h_1=0$) и пружина не деформирована. Поэтому начальная потенциальная энергия системы равна нулю: $E_{p, \text{начальная}} = 0$.

Конечная потенциальная энергия системы складывается из гравитационной потенциальной энергии пластины $E_{p, \text{грав}}$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_{p, \text{упр}}$.

$E_{p, \text{конечная}} = E_{p, \text{грав}} + E_{p, \text{упр}}$

Гравитационная потенциальная энергия пластины на высоте $\text{h}$:

$E_{p, \text{грав}} = mgh$

Когда пластина находится на высоте $\text{h}$, она удерживается в равновесии, значит, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $mg$:

$F_{упр} = mg$

По закону Гука, $F_{упр} = k \Delta x$, где $\Delta x$ — удлинение пружины. Отсюда находим удлинение:

$k \Delta x = mg \implies \Delta x = \frac{mg}{k}$

Потенциальная энергия деформированной пружины:

$E_{p, \text{упр}} = \frac{k (\Delta x)^2}{2} = \frac{k}{2} \left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{(mg)^2}{2k}$

Таким образом, полная работа равна:

$A = mgh + \frac{(mg)^2}{2k}$

Выполним вычисления:

$E_{p, \text{грав}} = 8 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \text{ м} = 80 \text{ Дж}$

$E_{p, \text{упр}} = \frac{(8 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2}{2 \cdot 80 \text{ Н/м}} = \frac{(80 \text{ Н})^2}{160 \text{ Н/м}} = \frac{6400 \text{ Н}^2}{160 \text{ Н/м}} = 40 \text{ Дж}$

$A = 80 \text{ Дж} + 40 \text{ Дж} = 120 \text{ Дж}$

Ответ: 120 Дж.