Теоретическое исследование, страница 137 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 26. Закон сохранения полной механической энергии. Вопросы - страница 137.

Условие.

Теоретическое исследование

Ракету массой $\text{m}$ запустили на высоте $\text{h}$ от поверхности Земли, сообщив ей вторую космическую скорость $v_2$ — минимальную скорость, с которой должно двигаться тело, чтобы, преодолев гравитационное притяжение Земли, удалиться от неё на бесконечно большое расстояние. На рис. 104 изображена параболическая траектория ракеты, удаляющейся от Земли со второй космической скоростью. Используя закон сохранения полной механической энергии, покажите, что $v_2 = \sqrt{2gR}$, где $\text{g}$ — модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли; $\text{R}$ — расстояние от ракеты до центра масс $\text{O}$ Земли при её запуске ($h \ll R$).

Рис. 104

Рассчитайте модуль второй космической скорости. Считайте, что масса Земли примерно равна $6 \cdot 10^{24}$ кг, а её радиус составляет $6400$ км. Указание. Начальная потенциальная энергия ракеты определяется по формуле: $E_\text{п} = -G\frac{mM}{R}$, где $\text{M}$ — масса Земли. Потенциальная энергия ракеты при удалении от Земли на бесконечно большое расстояние равна нулю. Модуль скорости запуска ракеты будет минимальным, если в конечном состоянии модуль скорости ракеты будет равен нулю.

Решение.

Теоретическое исследование

Вторая космическая скорость $v_2$ — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно преодолело её гравитационное притяжение и удалилось на бесконечно большое расстояние. Для вывода формулы воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Система ракета-Земля является замкнутой, поэтому ее полная механическая энергия сохраняется.

Полная механическая энергия $\text{E}$ состоит из кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий: $E = E_k + E_p$.

1. Начальное состояние. Ракета массой $\text{m}$ находится на высоте $\text{h}$ от поверхности Земли, которой сообщают скорость $v_2$. Расстояние от центра Земли $r_1 = R + h$. Так как по условию $h \ll R$, можно считать, что запуск происходит с поверхности, и $r_1 \approx R$.
Кинетическая энергия ракеты: $E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2}$.
Потенциальная энергия ракеты в гравитационном поле Земли: $E_{p1} = -G\frac{Mm}{R}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли.
Полная энергия в начальный момент: $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_2^2}{2} - G\frac{Mm}{R}$.

2. Конечное состояние. Ракета удалилась на бесконечно большое расстояние от Земли ($r_2 \to \infty$). Поскольку $v_2$ — это минимальная необходимая скорость, то на бесконечности скорость ракеты будет равна нулю ($v_{конечная} = 0$).
Кинетическая энергия ракеты: $E_{k2} = 0$.
Потенциальная энергия ракеты: $E_{p2} = \lim_{r_2 \to \infty} (-G\frac{Mm}{r_2}) = 0$.
Полная энергия в конечном состоянии: $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = 0$.

3. Закон сохранения энергии. Приравниваем полную энергию в начальном и конечном состояниях: $E_1 = E_2$.
$\frac{mv_2^2}{2} - G\frac{Mm}{R} = 0$
Перенесем потенциальную энергию в правую часть:
$\frac{mv_2^2}{2} = G\frac{Mm}{R}$
Сократим массу ракеты $\text{m}$ и выразим $v_2^2$:
$v_2^2 = \frac{2GM}{R}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ у поверхности Земли связано с массой и радиусом Земли соотношением $g = \frac{GM}{R^2}$. Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$. Подставим это выражение в формулу для квадрата второй космической скорости:
$v_2^2 = \frac{2(gR^2)}{R} = 2gR$
Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу:
$v_2 = \sqrt{2gR}$
Таким образом, формула доказана.

Ответ: формула $v_2 = \sqrt{2gR}$ доказана на основе закона сохранения полной механической энергии.

Рассчитайте модуль второй космической скорости

Дано:
Масса Земли $M \approx 6 \cdot 10^{24}$ кг
Радиус Земли $R = 6400$ км
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:
$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:
$v_2$ — ?

Решение:
Для расчета второй космической скорости воспользуемся формулой, связывающей её с массой и радиусом планеты:
$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
Подставим данные значения в формулу:
$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot (6 \cdot 10^{24} \text{ кг})}{6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}}$
$v_2 = \sqrt{\frac{8.004 \cdot 10^{14}}{6.4 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{1.250625 \cdot 10^8} \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 \approx 11183 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Переведем результат в километры в секунду и округлим:
$v_2 \approx 11.2 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: модуль второй космической скорости для Земли составляет примерно $11.2 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.