Номер 2, страница 139 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 26. Закон сохранения полной механической энергии. Задания и упражнения - номер 2, страница 139.

Условие.

2. Тело (материальная точка), находящееся на высоте $\text{H}$ относительно поверхности Земли, брошено в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v_0}$. Используя закон сохранения полной механической энергии, определите модуль скорости тела на высоте $\frac{H}{2}$. Сопротивление воздуха не учитывать, трением при движении пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная высота: $H_1 = H$

Начальная скорость: $\vec{v}_0$ (модуль $v_0$, направление горизонтальное)

Конечная высота: $H_2 = \frac{H}{2}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Масса тела: $\text{m}$

Найти:

Модуль скорости тела $\text{v}$ на высоте $H_2$.

Решение:

Поскольку по условию задачи сопротивление воздуха и трение не учитываются, на тело в полете действует только сила тяжести. Сила тяжести является консервативной, поэтому для тела будет выполняться закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия $\text{E}$ тела является суммой его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Запишем закон сохранения энергии для двух положений тела: в начальный момент на высоте $\text{H}$ (положение 1) и в момент, когда тело находится на высоте $\frac{H}{2}$ (положение 2).

$E_1 = E_2$

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность Земли. Тогда:

1. В начальном положении (на высоте $\text{H}$):

Кинетическая энергия: $E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2}$

Потенциальная энергия: $E_{p1} = mgH$

Полная механическая энергия в начальном положении:

$E_1 = \frac{mv_0^2}{2} + mgH$

2. В конечном положении (на высоте $\frac{H}{2}$):

Пусть модуль скорости тела на этой высоте равен $\text{v}$.

Кинетическая энергия: $E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$

Потенциальная энергия: $E_{p2} = mg\frac{H}{2}$

Полная механическая энергия в конечном положении:

$E_2 = \frac{mv^2}{2} + mg\frac{H}{2}$

Приравниваем полные энергии $E_1$ и $E_2$:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mg\frac{H}{2}$

Сократим массу $\text{m}$ в каждом члене уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} + gH = \frac{v^2}{2} + g\frac{H}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{v}$. Для этого перенесем слагаемое $g\frac{H}{2}$ в левую часть:

$\frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{2} + gH - g\frac{H}{2}$

$\frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{2} + g\frac{H}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$v^2 = v_0^2 + gH$

Тогда модуль скорости $\text{v}$ равен:

$v = \sqrt{v_0^2 + gH}$

Ответ: $v = \sqrt{v_0^2 + gH}$