Номер 4, страница 140 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 26. Закон сохранения полной механической энергии. Задания и упражнения - номер 4, страница 140.

Условие.

4. Шарик скатывается по наклонному желобу, переходящему в «мёртвую петлю» радиусом $\text{R}$ (рис. 106). Определите наименьшую высоту $\text{h}$, с которой должен скатываться шарик, чтобы он не отрывался от поверхности петли в её верхней точке. Сопротивление воздуха не учитывать, трением при движении пренебречь.

Рис. 106

Решение.

Дано:

Радиус петли: $\text{R}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Сопротивление воздуха и трение отсутствуют.

Найти:

Наименьшую высоту $h_{min}$

Решение:

Поскольку трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, для шарика выполняется закон сохранения полной механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем горизонтальную поверхность, на которой находится петля.

В начальный момент времени (на высоте $\text{h}$) шарик покоится, поэтому его полная механическая энергия $E_1$ состоит только из потенциальной энергии:

$E_1 = E_p = mgh$

где $\text{m}$ — масса шарика.

В верхней точке петли шарик находится на высоте $2R$ от нулевого уровня и обладает скоростью $\text{v}$. Его полная механическая энергия $E_2$ в этот момент равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

$E_2 = E_p' + E_k = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mgh = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$

Условие того, что шарик не отрывается от поверхности петли в её верхней точке, заключается в том, что сила реакции опоры $\text{N}$ в этой точке должна быть больше или равна нулю ($N \geq 0$).

Запишем второй закон Ньютона для шарика в верхней точке петли в проекции на вертикальную ось, направленную вниз (к центру окружности):

$N + mg = ma_c$

где $a_c = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.

$N + mg = m\frac{v^2}{R}$

Наименьшая высота $\text{h}$ соответствует наименьшей возможной скорости $\text{v}$ в верхней точке, при которой шарик еще не отрывается от желоба. Это предельный случай, когда сила реакции опоры становится равной нулю ($N = 0$).

При $N=0$ уравнение второго закона Ньютона принимает вид:

$mg = m\frac{v_{min}^2}{R}$

Отсюда находим квадрат минимальной скорости в верхней точке петли:

$v_{min}^2 = gR$

Теперь подставим это значение $v_{min}^2$ в уравнение закона сохранения энергии, чтобы найти соответствующую минимальную высоту $h_{min}$:

$mgh_{min} = mg(2R) + \frac{1}{2}m(gR)$

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$h_{min} = 2R + \frac{1}{2}R$

$h_{min} = \frac{4R}{2} + \frac{R}{2} = \frac{5R}{2} = 2.5R$

Таким образом, чтобы шарик не оторвался от поверхности петли в её верхней точке, он должен скатываться с высоты не менее $2.5R$.

Ответ: Наименьшая высота, с которой должен скатываться шарик, равна $h_{min} = 2.5R$.