Номер 4, страница 144 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 27. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения тел. Вопросы - номер 4, страница 144.

Условие.

4. Чему равны потери кинетической энергии при абсолютно неупругом столкновении тел?

Решение.

Абсолютно неупругое столкновение — это соударение, в результате которого тела соединяются (слипаются) и после него движутся как единое целое. При любом столкновении в замкнутой системе выполняется закон сохранения импульса. Однако при неупругом столкновении часть кинетической энергии системы переходит в другие виды энергии, в основном во внутреннюю (нагревание тел, их деформация). Поэтому закон сохранения механической энергии не выполняется, и происходит потеря кинетической энергии.

Рассмотрим систему из двух тел с массами $m_1$ и $m_2$, которые до столкновения движутся со скоростями $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно. Для простоты вывода будем считать движение одномерным вдоль одной прямой.

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$
где $\text{u}$ — общая скорость тел после столкновения.

Из этого уравнения можно выразить скорость тел после столкновения: $u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Кинетическая энергия системы до столкновения ($E_{k \, нач}$) равна сумме кинетических энергий двух тел: $E_{k \, нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Кинетическая энергия системы после столкновения ($E_{k \, кон}$): $E_{k \, кон} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Потери кинетической энергии ($\Delta E_k$) равны разности между начальной и конечной кинетической энергией: $\Delta E_k = E_{k \, нач} - E_{k \, кон} = \left(\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}\right) - \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Подставим ранее найденное выражение для скорости $\text{u}$ в это уравнение: $\Delta E_k = \frac{m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
$\Delta E_k = \frac{m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Приводя оба слагаемых к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$ и раскрывая скобки в числителе, получим: $\Delta E_k = \frac{(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2)}{2(m_1 + m_2)}$
$\Delta E_k = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2 - m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)}$

После сокращения подобных членов в числителе остается: $\Delta E_k = \frac{m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2}{2(m_1 + m_2)}$

Вынесем общий множитель $m_1 m_2$ за скобки и свернем выражение в скобках по формуле квадрата разности: $\Delta E_k = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)} = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Эта формула показывает, какая часть кинетической энергии перешла во внутреннюю. Величина $(v_1 - v_2)$ представляет собой относительную скорость тел до столкновения. Выражение $\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ называется приведённой массой системы ($\mu$). Таким образом, потери энергии можно записать как $\Delta E_k = \frac{1}{2}\mu v_{отн}^2$.

Ответ: Потери кинетической энергии при абсолютно неупругом столкновении двух тел вычисляются по формуле $\Delta E_k = \frac{m_1 m_2 (\vec{v_1} - \vec{v_2})^2}{2(m_1 + m_2)}$, где $m_1$ и $m_2$ — массы сталкивающихся тел, а $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — их векторные скорости до столкновения.