Номер 5, страница 145 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 27. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения тел. Задания и упражнения - номер 5, страница 145.

Условие.

* 5. Шайба массой $m = 150 \text{ г}$ соскальзывает из состояния покоя с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $30^\circ$. Пройдя по горизонтальной плоскости расстояние 70 см, шайба останавливается. Найдите работу сил трения на всём участке пути. Коэффициент трения скольжения шайбы о плоскость принять равным 0,2, модуль ускорения свободного падения — $10 \text{ м/с}^2$. Сделайте необходимый чертёж.

Решение.

Дано:

$m = 150 \text{ г} = 0.15 \text{ кг}$

$\alpha = 30^\circ$

$S_2 = 70 \text{ см} = 0.7 \text{ м}$

$\mu = 0.2$

$g = 10 \text{ м/с}^2$

$v_0 = 0$ (начальная скорость)

$v_k = 0$ (конечная скорость)

Найти:

$A_{тр}$

Решение:

Сделаем чертёж: наклонная плоскость, образующая угол $\alpha$ с горизонтом, переходит в горизонтальную плоскость. В начальный момент шайба находится на наклонной плоскости на некоторой высоте $\text{h}$. В конечный момент шайба останавливается на горизонтальной плоскости. На всём пути на шайбу действуют: сила тяжести $m\vec{g}$ (направлена вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (перпендикулярна поверхности, на которой находится шайба) и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ (направлена против движения).

Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении полной механической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе всех неконсервативных сил. В данном случае единственной неконсервативной силой является сила трения.

$\Delta E_{мех} = A_{тр}$

$E_{мех.к} - E_{мех.н} = A_{тр}$

Начальная механическая энергия системы (в момент старта с наклонной плоскости на высоте $\text{h}$), принимая за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную плоскость:

$E_{мех.н} = E_{п.н} + E_{к.н} = mgh + \frac{mv_0^2}{2} = mgh + 0 = mgh$

Конечная механическая энергия системы (после остановки на горизонтальной плоскости):

$E_{мех.к} = E_{п.к} + E_{к.к} = 0 + \frac{mv_k^2}{2} = 0 + 0 = 0$

Подставим значения энергий в теорему:

$0 - mgh = A_{тр}$

$A_{тр} = -mgh$

Для нахождения работы силы трения необходимо определить начальную высоту $\text{h}$. Мы можем найти её, выразив работу силы трения через коэффициент трения и пройденные пути.

Работа силы трения на всём пути складывается из работы на наклонном участке ($A_{тр1}$) и на горизонтальном ($A_{тр2}$):

$A_{тр} = A_{тр1} + A_{тр2}$

На наклонном участке сила нормальной реакции опоры равна $N_1 = mg\cos\alpha$. Пройденный путь по наклонной плоскости обозначим $S_1$. Тогда работа силы трения: $A_{тр1} = -F_{тр1}S_1 = -\mu N_1 S_1 = -\mu mg S_1 \cos\alpha$.

На горизонтальном участке сила нормальной реакции опоры равна $N_2 = mg$. Пройденный путь $S_2 = 0.7$ м. Тогда работа силы трения: $A_{тр2} = -F_{тр2}S_2 = -\mu N_2 S_2 = -\mu mg S_2$.

Таким образом, полная работа силы трения: $A_{тр} = -\mu mg S_1 \cos\alpha - \mu mg S_2 = -\mu mg (S_1 \cos\alpha + S_2)$.

Приравняем два полученных выражения для работы силы трения:

$-mgh = -\mu mg (S_1 \cos\alpha + S_2)$

Учитывая, что $h = S_1 \sin\alpha$, получим:

$mg S_1 \sin\alpha = \mu mg (S_1 \cos\alpha + S_2)$

Сократим на $mg$:

$S_1 \sin\alpha = \mu S_1 \cos\alpha + \mu S_2$

$S_1 (\sin\alpha - \mu \cos\alpha) = \mu S_2$

Отсюда найдем путь, пройденный по наклонной плоскости:

$S_1 = \frac{\mu S_2}{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}$

Подставим числовые значения:

$S_1 = \frac{0.2 \cdot 0.7}{\sin30^\circ - 0.2 \cdot \cos30^\circ} = \frac{0.14}{0.5 - 0.2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0.14}{0.5 - 0.1\sqrt{3}} \approx \frac{0.14}{0.5 - 0.1732} = \frac{0.14}{0.3268} \approx 0.4284 \text{ м}$

Теперь найдем начальную высоту $\text{h}$:

$h = S_1 \sin\alpha \approx 0.4284 \cdot \sin30^\circ = 0.4284 \cdot 0.5 = 0.2142 \text{ м}$

Наконец, вычислим работу силы трения:

$A_{тр} = -mgh \approx -0.15 \cdot 10 \cdot 0.2142 = -1.5 \cdot 0.2142 = -0.3213 \text{ Дж}$

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

Ответ: $A_{тр} \approx -0.32$ Дж.