Номер 3, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 28. Угловое ускорение. Равноускоренное движение по окружности. Вопросы - номер 3, страница 151.

Условие.

3. Используя рис. 109 и 110, объясните способ определения угла поворота при вращательном движении твёрдого тела с постоянным угловым ускорением.

Рис. 109

Рис. 110

Решение.

Решение

Способ определения угла поворота при вращательном движении твёрдого тела основан на геометрическом смысле площади под графиком зависимости угловой скорости $ \omega $ от времени $ t $.

Сначала рассмотрим более простой случай, представленный на рис. 109. Здесь показано равномерное вращательное движение, при котором угловая скорость $ \omega $ постоянна. Угол поворота $ \varphi $ за время $ t $ определяется формулой $ \varphi = \omega t $. На графике это произведение численно равно площади заштрихованного прямоугольника со сторонами $ \omega $ и $ t $. Таким образом, угол поворота численно равен площади под графиком $ \omega(t) $.

Этот же принцип применяется и для движения с переменной угловой скоростью. На рис. 110 изображён график для вращательного движения с постоянным угловым ускорением $ \varepsilon $. Угловая скорость изменяется со временем по линейному закону: $ \omega(t) = \omega_0 + \varepsilon t $, где $ \omega_0 $ — начальная угловая скорость. Графиком является прямая линия AB.

Для того чтобы определить угол поворота $ \varphi $ за промежуток времени от $ 0 $ до $ t $, необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком AB, осью времени OC и отрезками OA и BC. Эта фигура является трапецией OABC.

Площадь трапеции вычисляется по формуле полусуммы оснований на высоту. В данном случае основаниями трапеции являются отрезки OA, равный начальной угловой скорости $ \omega_0 $, и BC, равный конечной угловой скорости $ \omega $. Высотой трапеции является отрезок OC, равный промежутку времени $ t $.

Следовательно, площадь трапеции равна:

$ S_{OABC} = \frac{OA + BC}{2} \cdot OC = \frac{\omega_0 + \omega}{2} t $

Поскольку угол поворота $ \varphi $ численно равен этой площади, мы получаем формулу для его расчёта:

$ \varphi = \frac{\omega_0 + \omega}{2} t $

Таким образом, определив по графику начальную и конечную угловые скорости, а также промежуток времени, можно вычислить угол поворота тела.

Ответ: Способ определения угла поворота при вращательном движении с постоянным угловым ускорением заключается в вычислении площади под графиком зависимости угловой скорости от времени $ \omega(t) $. Эта площадь представляет собой площадь трапеции, ограниченной графиком, осью времени и вертикальными линиями, соответствующими начальному и конечному моментам времени. Угол поворота $ \varphi $ численно равен площади этой трапеции и вычисляется по формуле $ \varphi = \frac{\omega_0 + \omega}{2} t $, где $ \omega_0 $ и $ \omega $ — начальная и конечная угловые скорости, а $ t $ — промежуток времени.