Номер 3, страница 152 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 28. Угловое ускорение. Равноускоренное движение по окружности. Задания и упражнения - номер 3, страница 152.

Условие.

3. Вал начинает вращаться из состояния покоя и в первые 10 с совершает 50 оборотов. Считая, что вал вращается с постоянным угловым ускорением, определите его угловое ускорение и конечную угловую скорость.

Решение.

Дано:

Начальная угловая скорость, $ \omega_0 = 0 $ рад/с (вал начинает вращаться из состояния покоя)

Время вращения, $ t = 10 $ с

Число оборотов, $ N = 50 $

Угловое ускорение постоянно, $ \epsilon = \text{const} $

Перевод в систему СИ:

Угловое перемещение $ \phi $ (угол поворота) выражается в радианах. Один полный оборот равен $ 2\pi $ радиан. Следовательно, угловое перемещение за 50 оборотов составит:

$ \phi = N \cdot 2\pi = 50 \cdot 2\pi = 100\pi $ рад

Найти:

1. Угловое ускорение $ \epsilon $

2. Конечную угловую скорость $ \omega $

Решение:

Так как вращение происходит с постоянным угловым ускорением, для описания движения можно использовать кинематические уравнения вращательного движения. Поскольку вал начинает вращение из состояния покоя, его начальная угловая скорость $ \omega_0 = 0 $.

Уравнение для углового перемещения:

$ \phi = \omega_0 t + \frac{\epsilon t^2}{2} $

С учётом $ \omega_0 = 0 $, оно принимает вид:

$ \phi = \frac{\epsilon t^2}{2} $

Уравнение для угловой скорости:

$ \omega = \omega_0 + \epsilon t $

С учётом $ \omega_0 = 0 $, оно принимает вид:

$ \omega = \epsilon t $

Угловое ускорение

Для нахождения углового ускорения $ \epsilon $ воспользуемся формулой для угла поворота $ \phi = \frac{\epsilon t^2}{2} $ и выразим из нее $ \epsilon $:

$ \epsilon = \frac{2\phi}{t^2} $

Подставим известные значения:

$ \epsilon = \frac{2 \cdot 100\pi \text{ рад}}{(10 \text{ с})^2} = \frac{200\pi}{100} \frac{\text{рад}}{\text{с}^2} = 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}^2} $

Приближенное значение: $ \epsilon \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28 \text{ рад/с}^2 $.

Ответ: Угловое ускорение вала равно $ 2\pi \text{ рад/с}^2 $ (или приблизительно $ 6.28 \text{ рад/с}^2 $).

Конечная угловая скорость

Для нахождения конечной угловой скорости $ \omega $ воспользуемся формулой $ \omega = \epsilon t $.

Подставим найденное значение углового ускорения $ \epsilon $ и время $ t $:

$ \omega = 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ с} = 20\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}} $

Приближенное значение: $ \omega \approx 20 \cdot 3.14 = 62.8 \text{ рад/с} $.

Ответ: Конечная угловая скорость вала равна $ 20\pi \text{ рад/с} $ (или приблизительно $ 62.8 \text{ рад/с} $).