Номер 3, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Вопросы - номер 3, страница 158.

Условие.

3. Чему равен момент инерции однородной гантели?

Решение.

Момент инерции однородной гантели зависит от выбора оси вращения и от того, насколько детально мы моделируем ее составные части (рукоять и шары). Как правило, рассматривается вращение гантели вокруг оси, проходящей через центр ее рукояти и перпендикулярной ей.

Рассмотрим два основных случая.

1. Упрощенная модель (идеальная гантель)

В этой модели мы пренебрегаем массой рукояти и размерами шаров, считая их материальными точками. Гантель представляет собой два тела одинаковой массы $\text{M}$, расположенные на расстоянии $\text{L}$ друг от друга (длина рукояти) и вращающиеся вокруг центра.

• $\text{M}$ – масса каждого шара.
• $\text{L}$ – длина рукояти.

Расстояние от каждого шара до оси вращения равно $r = L/2$. Момент инерции для системы из двух материальных точек вычисляется как сумма моментов инерции каждой точки:

$I = I_1 + I_2 = M \cdot (\frac{L}{2})^2 + M \cdot (\frac{L}{2})^2 = 2 \cdot M \frac{L^2}{4} = \frac{1}{2}ML^2$

Ответ: В упрощенной модели момент инерции идеальной гантели равен $I = \frac{1}{2}ML^2$.

2. Полная модель (реальная гантель)

В этой модели мы учитываем массу и размеры всех частей гантели: рукояти (стержня) и шаров. Момент инерции всей гантели равен сумме моментов инерции ее частей относительно общей оси вращения (принцип аддитивности).

• $\text{m}$ – масса рукояти.
• $\text{L}$ – длина рукояти.
• $\text{M}$ – масса каждого шара.
• $\text{R}$ – радиус каждого шара (предполагаем, что шары сплошные).

а) Момент инерции рукояти (стержня) относительно оси, проходящей через ее центр, равен:

$I_{стержень} = \frac{1}{12}mL^2$

б) Момент инерции шаров. Момент инерции одного сплошного шара относительно оси, проходящей через его собственный центр, равен $I_{ц.м.} = \frac{2}{5}MR^2$. Поскольку ось вращения гантели находится на расстоянии $d = L/2$ от центра каждого шара, для нахождения момента инерции шара относительно этой оси нужно использовать теорему Гюйгенса-Штейнера: $I = I_{ц.м.} + Md^2$.

Для одного шара:

$I_{шар} = \frac{2}{5}MR^2 + M(\frac{L}{2})^2$

Поскольку шаров два, их суммарный момент инерции:

$I_{шары} = 2 \cdot I_{шар} = 2 \left( \frac{2}{5}MR^2 + M\frac{L^2}{4} \right) = \frac{4}{5}MR^2 + \frac{1}{2}ML^2$

в) Общий момент инерции гантели. Суммируем моменты инерции рукояти и двух шаров:

$I_{общий} = I_{стержень} + I_{шары} = \frac{1}{12}mL^2 + \left( \frac{4}{5}MR^2 + \frac{1}{2}ML^2 \right)$

Сгруппировав слагаемые, получаем окончательную формулу:

$I_{общий} = (\frac{m}{12} + \frac{M}{2})L^2 + \frac{4}{5}MR^2$

Ответ: В полной модели момент инерции однородной гантели относительно оси, проходящей через центр рукояти и перпендикулярной ей, равен $I = (\frac{m}{12} + \frac{M}{2})L^2 + \frac{4}{5}MR^2$.