Номер 2, страница 159 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Задания и упражнения - номер 2, страница 159.

Условие.

2. На однородный барабан радиусом 0,7 м с горизонтальной осью вращения навита нить, к концу которой привязан груз массой 5 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением, модуль которого равен $2 \text{ м/с}^2$. Трением при движении пренебречь.

Решение.

Дано:

Радиус барабана, $R = 0,7$ м

Масса груза, $m = 5$ кг

Ускорение груза, $a = 2$ м/с²

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Момент инерции барабана, $\text{I}$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из груза и барабана. На опускающийся груз действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - T = ma$

Из этого уравнения выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = mg - ma = m(g - a)$

Сила натяжения нити $\text{T}$ приложена к ободу барабана и создает вращающий момент $\tau$, который заставляет барабан вращаться. Момент силы равен произведению модуля силы на плечо, которое в данном случае равно радиусу барабана $\text{R}$:

$\tau = T \cdot R$

С другой стороны, согласно основному уравнению динамики вращательного движения, вращающий момент связан с моментом инерции $\text{I}$ и угловым ускорением $\varepsilon$ соотношением:

$\tau = I \varepsilon$

Приравнивая два выражения для момента силы, получаем:

$T \cdot R = I \varepsilon$

Так как нить разматывается с барабана без проскальзывания, линейное ускорение груза $\text{a}$ связано с угловым ускорением барабана $\varepsilon$ следующей формулой:

$a = \varepsilon R$

Отсюда выразим угловое ускорение:

$\varepsilon = \frac{a}{R}$

Теперь подставим выражения для $\text{T}$ и $\varepsilon$ в уравнение моментов $T \cdot R = I \varepsilon$:

$m(g - a) R = I \frac{a}{R}$

Из полученного уравнения выразим искомую величину – момент инерции барабана $\text{I}$:

$I = \frac{m(g - a) R^2}{a}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу и выполним вычисления:

$I = \frac{5 \cdot (9,8 - 2) \cdot (0,7)^2}{2} = \frac{5 \cdot 7,8 \cdot 0,49}{2} = \frac{19,11}{2} = 9,555 \ (\text{кг} \cdot \text{м}^2)$

Ответ: момент инерции барабана равен $9,555$ кг·м².