Номер 7, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Вопросы - номер 7, страница 158.

Условие.

7. Как определяется кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела?

Решение.

Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела — это энергия, которой обладает тело вследствие своего вращения вокруг некоторой оси. Для нахождения этой энергии тело мысленно разбивают на множество малых элементов (материальных точек) массой $ m_i $, каждый из которых находится на расстоянии $ r_i $ от оси вращения.

Каждый такой элемент движется по окружности с линейной скоростью $ v_i = \omega r_i $, где $ \omega $ — угловая скорость, одинаковая для всех точек тела. Кинетическая энергия одного элемента равна $ E_{кi} = \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} m_i (\omega r_i)^2 = \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 $.

Полная кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий всех его элементов: $ E_{к_{вр}} = \sum E_{кi} = \sum \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 $. Вынося за знак суммы постоянные для всего тела величины ($ \frac{1}{2} $ и $ \omega^2 $), получаем: $ E_{к_{вр}} = \frac{1}{2} \left( \sum m_i r_i^2 \right) \omega^2 $.

Величина $ I = \sum m_i r_i^2 $ называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении и зависит от массы тела и её распределения относительно оси вращения.

Таким образом, формула для расчёта кинетической энергии вращательного движения твёрдого тела имеет вид:

$ E_{к_{вр}} = \frac{I \omega^2}{2} $

Здесь $ E_{к_{вр}} $ — кинетическая энергия вращательного движения (в джоулях, Дж), $ I $ — момент инерции тела относительно оси вращения (в кг⋅м²), а $ \omega $ — угловая скорость вращения (в рад/с).

Эта формула является аналогом формулы для кинетической энергии поступательного движения $ E_к = \frac{mv^2}{2} $, где момент инерции $ I $ играет роль массы, а угловая скорость $ \omega $ — роль линейной скорости.

Ответ: Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела определяется как половина произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. Формула для расчёта: $ E_{к_{вр}} = \frac{I \omega^2}{2} $.