Номер 4, страница 159 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Задания и упражнения - номер 4, страница 159.

Условие.

4. Платформа массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$, расположенная горизонтально, вращается с угловой скоростью $\omega$. На краю платформы стоит человек массой $\text{m}$. С какой угловой скоростью $\omega_1$ будет вращаться платформа, если человек переместится от её края к центру платформы? Трением при движении пренебречь. Систему «горизонтальная платформа — человек» считать замкнутой, платформу — круглым однородным диском.

Решение.

Дано:

Масса платформы: $\text{M}$

Радиус платформы: $\text{R}$

Масса человека: $\text{m}$

Начальная угловая скорость системы: $\omega$

Найти:

Конечная угловая скорость системы: $\omega_1$

Решение:

Система «платформа — человек» является замкнутой, так как по условию трением можно пренебречь, а внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы и их моменты относительно оси вращения равны нулю. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения момента импульса (углового момента):

$L_1 = L_2$

где $L_1$ — начальный момент импульса системы, а $L_2$ — конечный момент импульса системы.

Момент импульса системы равен произведению момента инерции системы $\text{I}$ на её угловую скорость $\omega$: $L = I \cdot \omega$.

В начальном состоянии человек стоит на краю платформы. Момент инерции всей системы $I_1$ равен сумме момента инерции платформы $I_п$ и момента инерции человека $I_{ч1}$.

Платформа представляет собой однородный диск, её момент инерции относительно оси, проходящей через центр, равен:

$I_п = \frac{1}{2}MR^2$

Человека можно считать материальной точкой. Его момент инерции, когда он находится на краю платформы (на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения), равен:

$I_{ч1} = mR^2$

Таким образом, начальный момент инерции системы:

$I_1 = I_п + I_{ч1} = \frac{1}{2}MR^2 + mR^2 = (\frac{M}{2} + m)R^2$

Начальный момент импульса системы:

$L_1 = I_1 \omega = (\frac{M}{2} + m)R^2 \omega$

В конечном состоянии человек переместился в центр платформы. Момент инерции платформы не изменился. Момент инерции человека, находящегося в центре (на расстоянии 0 от оси вращения), стал равен нулю:

$I_{ч2} = m \cdot 0^2 = 0$

Конечный момент инерции системы:

$I_2 = I_п + I_{ч2} = \frac{1}{2}MR^2 + 0 = \frac{1}{2}MR^2$

Конечный момент импульса системы, вращающейся с новой угловой скоростью $\omega_1$:

$L_2 = I_2 \omega_1 = \frac{1}{2}MR^2 \omega_1$

Приравниваем начальный и конечный моменты импульса:

$(\frac{M}{2} + m)R^2 \omega = \frac{1}{2}MR^2 \omega_1$

Сокращаем обе части уравнения на $R^2$:

$(\frac{M}{2} + m) \omega = \frac{M}{2} \omega_1$

Выражаем искомую угловую скорость $\omega_1$:

$\omega_1 = \frac{\frac{M}{2} + m}{\frac{M}{2}} \omega = (\frac{\frac{M}{2}}{\frac{M}{2}} + \frac{m}{\frac{M}{2}}) \omega = (1 + \frac{2m}{M}) \omega$

Ответ: $\omega_1 = (1 + \frac{2m}{M}) \omega$