Номер 6, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Задания и упражнения - номер 6, страница 160.

Условие.

6. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м может вращаться вокруг закреплённой вертикальной оси, проходящей через её центр. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Платформа вращается с угловой скоростью $ω_1$, равной 2 рад/с. С какой угловой скоростью $ω_2$ начнёт вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3 до 1 кг • м²? Трением при движении пренебречь. Систему «горизонтальная платформа — человек» считать замкнутой, платформу — круглым однородным диском.

Решение.

Дано:

Масса платформы $m_п = 80$ кг
Радиус платформы $R = 1$ м
Начальная угловая скорость системы $\omega_1 = 2$ рад/с
Начальный момент инерции человека $I_{ч1} = 3$ кг·м²
Конечный момент инерции человека $I_{ч2} = 1$ кг·м²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Конечную угловую скорость системы $\omega_2$.

Решение:

Система «платформа — человек» является замкнутой, так как по условию трением можно пренебречь. Для замкнутой системы справедлив закон сохранения момента импульса (углового момента): суммарный момент импульса системы до изменения равен суммарному моменту импульса после изменения.

Запишем закон сохранения момента импульса:

$L_1 = L_2$

где $L_1$ — начальный момент импульса системы, а $L_2$ — конечный. Момент импульса $\text{L}$ определяется как произведение момента инерции системы $\text{I}$ на её угловую скорость $\omega$: $L = I \cdot \omega$.

Суммарный момент инерции системы равен сумме моментов инерции платформы $I_п$ и человека $I_ч$. Тогда закон сохранения момента импульса можно записать в виде:

$(I_п + I_{ч1})\omega_1 = (I_п + I_{ч2})\omega_2$

Платформа представляет собой однородный диск, её момент инерции относительно оси, проходящей через центр, вычисляется по формуле:

$I_п = \frac{1}{2}m_п R^2$

Подставим числовые значения и рассчитаем момент инерции платформы:

$I_п = \frac{1}{2} \cdot 80 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м})^2 = 40 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Теперь выразим искомую угловую скорость $\omega_2$ из закона сохранения момента импульса:

$\omega_2 = \frac{(I_п + I_{ч1})\omega_1}{I_п + I_{ч2}}$

Подставим все известные значения в полученную формулу:

$\omega_2 = \frac{(40 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 3 \text{ кг} \cdot \text{м}^2) \cdot 2 \text{ рад/с}}{40 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + 1 \text{ кг} \cdot \text{м}^2} = \frac{43 \cdot 2}{41} \text{ рад/с} = \frac{86}{41} \text{ рад/с} \approx 2.1 \text{ рад/с}$

Ответ: конечная угловая скорость платформы составит приблизительно $2.1$ рад/с.