Номер 7, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Задания и упражнения - номер 7, страница 160.

Условие.

7. С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный цилиндр массой $\text{m}$ со скоростью $\vec{v}$. Найдите кинетическую энергию скатившегося цилиндра у основания наклонной плоскости. Трением качения пренебречь.

Решение.

Дано:

m – масса однородного цилиндра

v – скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости

Цилиндр скатывается без скольжения.

Найти:

$E_k$ – кинетическую энергию цилиндра у основания наклонной плоскости.

Решение:

Поскольку цилиндр скатывается без скольжения, он участвует одновременно в двух видах движения: поступательном и вращательном. Следовательно, его полная кинетическая энергия $E_k$ равна сумме кинетической энергии поступательного движения $E_{пост}$ и кинетической энергии вращательного движения $E_{вращ}$.

$E_k = E_{пост} + E_{вращ}$

Кинетическая энергия поступательного движения центра масс цилиндра определяется формулой:

$E_{пост} = \frac{mv^2}{2}$

Кинетическая энергия вращательного движения цилиндра вокруг своей оси определяется формулой:

$E_{вращ} = \frac{I\omega^2}{2}$

где $\text{I}$ – момент инерции цилиндра, а $\omega$ – его угловая скорость.

Момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его оси симметрии равен:

$I = \frac{mR^2}{2}$

где $\text{R}$ – радиус цилиндра.

Условие скатывания без скольжения связывает линейную скорость центра масс $\text{v}$ и угловую скорость $\omega$ соотношением:

$v = \omega R$

Отсюда выразим угловую скорость:

$\omega = \frac{v}{R}$

Подставим выражения для момента инерции и угловой скорости в формулу для кинетической энергии вращательного движения:

$E_{вращ} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{mR^2}{2}\right) \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{mR^2}{2} \cdot \frac{v^2}{R^2} = \frac{mv^2}{4}$

Теперь найдем полную кинетическую энергию, сложив энергии поступательного и вращательного движений:

$E_k = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$E_k = \frac{2mv^2}{4} + \frac{mv^2}{4} = \frac{3mv^2}{4}$

Ответ: Кинетическая энергия скатившегося цилиндра у основания наклонной плоскости равна $E_k = \frac{3}{4}mv^2$.