Номер 5, страница 159 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Задания и упражнения - номер 5, страница 159.

Условие.

5. Однородный обруч массой 1 кг и радиусом 0,3 м вращается вокруг закреплённой оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью, равной 125 рад/с. Какую работу необходимо совершить, чтобы остановить обруч? Ось вращения перпендикулярна плоскости обруча. Трение при движении пренебречь.

Решение.

Дано:

Масса обруча, $m = 1$ кг

Радиус обруча, $R = 0,3$ м

Начальная угловая скорость, $\omega_0 = 125$ рад/с

Конечная угловая скорость, $\omega = 0$ рад/с

Найти:

Работу, которую необходимо совершить для остановки обруча, $\text{A}$ - ?

Решение:

Работа, которую необходимо совершить для остановки обруча, по теореме о кинетической энергии равна изменению кинетической энергии этого обруча. Так как движение вращательное, мы рассматриваем кинетическую энергию вращательного движения.

$A = \Delta E_k = E_{k} - E_{k0}$

где $E_{k0}$ — начальная кинетическая энергия вращения, а $E_{k}$ — конечная кинетическая энергия.

Кинетическая энергия вращающегося тела вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{I \omega^2}{2}$

Здесь $\text{I}$ — момент инерции тела, $\omega$ — его угловая скорость.

Момент инерции однородного обруча (рассматриваемого как тонкое кольцо) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча, равен:

$I = mR^2$

Вычислим момент инерции обруча:

$I = 1 \text{ кг} \cdot (0,3 \text{ м})^2 = 1 \cdot 0,09 = 0,09 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Теперь найдем начальную кинетическую энергию обруча, когда он вращался со скоростью $\omega_0$:

$E_{k0} = \frac{I \omega_0^2}{2} = \frac{0,09 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (125 \text{ рад/с})^2}{2}$

$E_{k0} = \frac{0,09 \cdot 15625}{2} = \frac{1406,25}{2} = 703,125 \text{ Дж}$

В конечном состоянии обруч остановлен, поэтому его конечная угловая скорость $\omega = 0$. Следовательно, его конечная кинетическая энергия также равна нулю:

$E_k = 0$

Теперь мы можем рассчитать работу, необходимую для остановки обруча:

$A = E_k - E_{k0} = 0 \text{ Дж} - 703,125 \text{ Дж} = -703,125 \text{ Дж}$

Знак «минус» в ответе означает, что работа совершается против направления вращения, то есть внешние силы отбирают энергию у системы.

Ответ: $A = -703,125$ Дж.