Номер 3, страница 159 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Задания и упражнения - номер 3, страница 159.

Условие.

3. Мальчик катит однородный обруч по горизонтальной дороге с угловым ускорением, равным $2 \text{ рад/с}^2$. Диаметр обруча равен $1 \text{ м}$, его масса равна $200 \text{ г}$. Найдите:

а) момент инерции обруча;

б) момент силы, приложенной к обручу;

в) модуль силы, с которой мальчик действует на обруч.

Трением при движении пренебречь.

Решение.

Дано:

Угловое ускорение, $\epsilon = 2 \text{ рад/с}^2$

Диаметр обруча, $d = 1 \text{ м}$

Масса обруча, $m = 200 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:

$d = 1 \text{ м} \implies R = \frac{d}{2} = 0.5 \text{ м}$

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

а) $\text{I}$ - момент инерции обруча

б) $\text{M}$ - момент силы, приложенной к обручу

в) $\text{F}$ - модуль силы, с которой мальчик действует на обруч

Решение:

а) момент инерции обруча

Момент инерции однородного обруча (тонкого кольца) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, вычисляется по формуле:

$I = mR^2$

где $\text{m}$ - масса обруча, а $\text{R}$ - его радиус. Подставим числовые значения:

$I = 0.2 \text{ кг} \cdot (0.5 \text{ м})^2 = 0.2 \cdot 0.25 = 0.05 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Ответ: Момент инерции обруча равен $0.05 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

б) момент силы, приложенной к обручу

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, результирующий момент силы $\text{M}$, действующий на тело, связан с моментом инерции $\text{I}$ и угловым ускорением $\epsilon$ соотношением:

$M = I \cdot \epsilon$

Подставим значение момента инерции из пункта а) и заданное угловое ускорение:

$M = 0.05 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 2 \text{ рад/с}^2 = 0.1 \text{ Н} \cdot \text{м}$

Ответ: Момент силы, приложенный к обручу, равен $0.1 \text{ Н} \cdot \text{м}$.

в) модуль силы, с которой мальчик действует на обруч

Обруч катится без проскальзывания. Это означает, что линейное ускорение его центра масс $\text{a}$ связано с угловым ускорением $\epsilon$ соотношением:

$a = \epsilon \cdot R$

Вычислим линейное ускорение центра масс обруча:

$a = 2 \text{ рад/с}^2 \cdot 0.5 \text{ м} = 1 \text{ м/с}^2$

Поступательное движение обруча описывается вторым законом Ньютона, согласно которому результирующая сила равна произведению массы на ускорение. В данном случае, условие "трением пренебречь" для обруча ($I=mR^2$) выполняется без противоречий, если считать, что сила приложена к верхней точке обруча. В этом случае сила трения покоя равна нулю. Таким образом, единственной горизонтальной силой, действующей на обруч, является сила $\text{F}$, приложенная мальчиком.

$F = m \cdot a$

Подставим известные значения массы и вычисленного ускорения:

$F = 0.2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}^2 = 0.2 \text{ Н}$

Проверим, что эта сила, приложенная к верхней точке обруча (на расстоянии $\text{R}$ от центра), создает момент силы, вычисленный в пункте б). Момент силы $\text{F}$ относительно центра масс равен $M_F = F \cdot R$.

$M_F = 0.2 \text{ Н} \cdot 0.5 \text{ м} = 0.1 \text{ Н} \cdot \text{м}$

Полученное значение совпадает с моментом силы из пункта б), что подтверждает правильность решения.

Ответ: Модуль силы, с которой мальчик действует на обруч, равен $0.2 \text{ Н}$.