Номер 2, страница 158 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 29. Момент инерции. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Вопросы - номер 2, страница 158.

Условие.

2. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела?

Решение.

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела устанавливает связь между результирующим моментом внешних сил, приложенных к телу, и угловым ускорением, которое тело приобретает под действием этих сил. Это уравнение является аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения ($ \vec{F} = m\vec{a} $).

Уравнение имеет несколько форм записи.

1. Для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, или любой неподвижной оси, если тело симметрично относительно неё, уравнение в скалярной форме записывается как:

$ M = I \varepsilon $

где:
$ M $ – проекция результирующего момента внешних сил на ось вращения (Н·м),
$ I $ – момент инерции тела относительно этой оси (кг·м²),
$ \varepsilon $ – угловое ускорение тела (рад/с²).

В векторной форме для этого случая уравнение выглядит так:

$ \vec{M} = I \vec{\varepsilon} $

Здесь предполагается, что векторы момента сил $ \vec{M} $ и углового ускорения $ \vec{\varepsilon} $ коллинеарны, что справедливо при вращении вокруг одной из главных осей инерции тела.

2. В наиболее общем виде, справедливом для любого вращательного движения твердого тела, уравнение связывает момент сил со скоростью изменения момента импульса тела:

$ \vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} $

где:
$ \vec{M} $ – результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки или центра масс,
$ \vec{L} $ – момент импульса (угловой момент) тела относительно той же точки.
Эта форма является фундаментальной, поскольку она верна даже тогда, когда момент инерции тела или ось вращения изменяются со временем. Для твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной главной оси инерции, момент импульса $ \vec{L} = I\vec{\omega} $ (где $ \vec{\omega} $ – угловая скорость). Если момент инерции $ I $ постоянен, то, подставив это в общую формулу, получим: $ \vec{M} = \frac{d(I\vec{\omega})}{dt} = I\frac{d\vec{\omega}}{dt} = I\vec{\varepsilon} $, что возвращает нас к первой, более простой форме уравнения.

Ответ: Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела записывается в виде $ M = I \varepsilon $ (для вращения вокруг фиксированной главной оси инерции) или, в более общем виде, как $ \vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} $.