Номер 2, страница 152 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 28. Угловое ускорение. Равноускоренное движение по окружности. Задания и упражнения - номер 2, страница 152.

Условие.

2. Частота вращения диска в течение $5 \text{ с}$ увеличилась на $600 \text{ об/мин}$. Найдите число полных оборотов и угловое ускорение диска, если он вращается с постоянным угловым ускорением.

Решение.

Дано:

$t = 5 \text{ с}$

$\Delta n = 600 \text{ об/мин}$

$\epsilon = \text{const}$

Переведем изменение частоты вращения в систему СИ (обороты в секунду, Гц):

$\Delta n = 600 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{600 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 10 \frac{\text{об}}{\text{с}} = 10 \text{ Гц}$

Найти:

$\text{N}$ - число полных оборотов

$\epsilon$ - угловое ускорение диска

Решение:

Так как в условии не указана начальная частота вращения, будем считать, что диск начал вращаться из состояния покоя. В этом случае начальная частота $n_0 = 0$ и, следовательно, начальная угловая скорость $\omega_0 = 0$.

Тогда изменение частоты равно конечной частоте: $n = \Delta n = 10 \text{ об/с}$.

Угловое ускорение диска

Угловое ускорение $\epsilon$ при равноускоренном вращении определяется по формуле:

$\epsilon = \frac{\omega - \omega_0}{t}$

где $\omega$ — конечная угловая скорость, а $\omega_0$ — начальная.

Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением $\omega = 2\pi n$.

Начальная угловая скорость: $\omega_0 = 2\pi n_0 = 0$.

Конечная угловая скорость: $\omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 10 \text{ с}^{-1} = 20\pi \text{ рад/с}$.

Теперь можем рассчитать угловое ускорение:

$\epsilon = \frac{20\pi \text{ рад/с} - 0}{5 \text{ с}} = 4\pi \text{ рад/с}^2$.

Ответ: Угловое ускорение диска составляет $4\pi \text{ рад/с}^2$ (приблизительно $12,57 \text{ рад/с}^2$).

Число полных оборотов

Число полных оборотов $\text{N}$ можно найти через угол поворота $\phi$. Угол поворота при равноускоренном вращении из состояния покоя находится по формуле:

$\phi = \omega_0 t + \frac{\epsilon t^2}{2}$

Подставим известные значения:

$\phi = 0 \cdot 5 + \frac{(4\pi \text{ рад/с}^2) \cdot (5 \text{ с})^2}{2} = \frac{4\pi \cdot 25}{2} \text{ рад} = 50\pi \text{ рад}$.

Также можно использовать формулу через среднюю угловую скорость:

$\phi = \frac{\omega_0 + \omega}{2} t = \frac{0 + 20\pi \text{ рад/с}}{2} \cdot 5 \text{ с} = 10\pi \text{ рад/с} \cdot 5 \text{ с} = 50\pi \text{ рад}$.

Каждый полный оборот соответствует углу $2\pi$ радиан. Чтобы найти число оборотов $\text{N}$, разделим общий угол поворота на $2\pi$:

$N = \frac{\phi}{2\pi} = \frac{50\pi \text{ рад}}{2\pi \text{ рад/об}} = 25 \text{ об}$.

Ответ: Число полных оборотов, совершенных диском, равно 25.