Номер 7, страница 152 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 5. Вращательное движение твёрдого тела. Параграф 28. Угловое ускорение. Равноускоренное движение по окружности. Вопросы - номер 7, страница 152.

Условие.

7. Как записывается формула определения модуля ускорения тела при равноускоренном движении по окружности в любой момент времени?

Решение.

Решение

При равноускоренном движении тела по окружности его полное ускорение $\vec{a}$ в любой момент времени является векторной суммой двух взаимно перпендикулярных составляющих: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_{n}$.

Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$ направлено по касательной к траектории и характеризует изменение модуля скорости тела. При равноускоренном движении модуль тангенциального ускорения постоянен: $a_{\tau} = \text{const}$.

Нормальное (центростремительное) ускорение $\vec{a}_{n}$ направлено к центру окружности и характеризует изменение направления вектора скорости. Его модуль зависит от мгновенной линейной скорости $\text{v}$ и радиуса окружности $\text{R}$ по формуле:

$a_{n} = \frac{v^2}{R}$

Поскольку векторы тангенциального и нормального ускорений перпендикулярны друг другу, модуль полного ускорения $\text{a}$ можно найти по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются $a_{\tau}$ и $a_{n}$:

$a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_{n}^2}$

При равноускоренном движении мгновенная скорость $\text{v}$ изменяется со временем по закону, аналогичному прямолинейному равноускоренному движению:

$v(t) = v_0 + a_{\tau}t$

где $v_0$ — начальная скорость тела в момент времени $t=0$.

Подставим это выражение для мгновенной скорости в формулу для нормального ускорения, чтобы найти его зависимость от времени:

$a_{n}(t) = \frac{(v_0 + a_{\tau}t)^2}{R}$

Теперь, подставив полученные выражения для модулей тангенциального и нормального ускорений в формулу для модуля полного ускорения, мы получим итоговую формулу, показывающую зависимость модуля ускорения от времени:

$a(t) = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_{n}(t)^2} = \sqrt{a_{\tau}^2 + \left(\frac{(v_0 + a_{\tau}t)^2}{R}\right)^2} = \sqrt{a_{\tau}^2 + \frac{(v_0 + a_{\tau}t)^4}{R^2}}$

Ответ: Формула для определения модуля ускорения тела при равноускоренном движении по окружности в любой момент времени $\text{t}$ имеет вид: $a(t) = \sqrt{a_{\tau}^2 + \frac{(v_0 + a_{\tau}t)^4}{R^2}}$, где $a_{\tau}$ — модуль постоянного тангенциального ускорения, $v_0$ — начальная скорость тела, $\text{R}$ — радиус окружности, а $\text{t}$ — время.